微积分学示例

$\int (\frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{2 x}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int \frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{2 x} d x$

解题步骤 2

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{x} d x$

解题步骤 3

用 $3 x^{2} + 4 x + 1$ 除以 $x$ 。

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解题步骤 3.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$0$

$3 x^{2}$

$4 x$

$1$

解题步骤 3.2

将被除数中的最高阶项 $3 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$3 x$
	$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$

解题步骤 3.3

将新的商式项乘以除数。

				$3 x$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			+	$3 x^{2}$	+	$0$

解题步骤 3.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 x^{2} + 0$ 中的所有符号

				$3 x$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$

解题步骤 3.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$3 x$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$

解题步骤 3.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$3 x$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	+	$1$

解题步骤 3.7

将被除数中的最高阶项 $4 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$3 x$	+	$4$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	+	$1$

解题步骤 3.8

将新的商式项乘以除数。

				$3 x$	+	$4$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	+	$0$

解题步骤 3.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x + 0$ 中的所有符号

				$3 x$	+	$4$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$0$

解题步骤 3.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$3 x$	+	$4$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$0$
							+	$1$

解题步骤 3.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$\frac{1}{2} \int 3 x + 4 + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int 3 x d x + \int 4 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 5

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (3 \int x d x + \int 4 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} (3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 x + C + \int \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} (3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C + \int \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 9

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{2} (3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C + \ln (| x |) + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

$\frac{1}{2} (\frac{3 x^{2}}{2} + 4 x + \ln (| x |)) + C$

解题步骤 10.2

重新排序项。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{2} + 4 x + \ln (| x |)) + C$

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