微积分学示例

$x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- 3 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2} y$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - 3 y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - 3 y (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

解题步骤 2.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$3 x^{2} - 6 y x + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $3 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 6 y x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 6 y x + 3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

解题步骤 3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 6 y x + 3 y^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

解题步骤 4

因为 $- y^{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y^{3}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} - 6 y x + 3 y^{2} + 0$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $3 x^{2} - 6 y x + 3 y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2} - 6 y x + 3 y^{2}$

解题步骤 5.2

重新排序项。

$3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

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