微积分学示例

$f (x) = - x^{4} - 7 x^{3} - 12 x^{2}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $- x^{4} - 7 x^{3} - 12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

解题步骤 1.2.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 4 x^{3} - 7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 4 x^{3} - 7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 7$ 。

$- 4 x^{3} - 21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 4 x^{3} - 21 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 4 x^{3} - 21 x^{2} - 12 (2 x)$

解题步骤 1.4.3

将 $2$ 乘以 $- 12$ 。

$- 4 x^{3} - 21 x^{2} - 24 x$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 4 x^{3} - 21 x^{2} - 24 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 21 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 21$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 21 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 21 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 21 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 21$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 42 x + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 24 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 42 x - 24 \frac{d}{d x} x$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 42 x - 24 \cdot 1$

解题步骤 2.4.3

将 $- 24$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 42 x - 24$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 4 x^{3} - 21 x^{2} - 24 x = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $- x^{4} - 7 x^{3} - 12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 4 x^{3} - 7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 4 x^{3} - 7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 7$ 。

$- 4 x^{3} - 21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

解题步骤 4.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 4 x^{3} - 21 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 4 x^{3} - 21 x^{2} - 12 (2 x)$

解题步骤 4.1.4.3

将 $2$ 乘以 $- 12$ 。

$f' (x) = - 4 x^{3} - 21 x^{2} - 24 x$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 4 x^{3} - 21 x^{2} - 24 x$ 。

$- 4 x^{3} - 21 x^{2} - 24 x$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 4 x^{3} - 21 x^{2} - 24 x = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 4 x^{3} - 21 x^{2} - 24 x = 0$

解题步骤 5.2

从 $- 4 x^{3} - 21 x^{2} - 24 x$ 中分解出因数 $- x$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $- 4 x^{3}$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x (4 x^{2}) - 21 x^{2} - 24 x = 0$

解题步骤 5.2.2

从 $- 21 x^{2}$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x (4 x^{2}) - x (21 x) - 24 x = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $- 24 x$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x (4 x^{2}) - x (21 x) - x \cdot 24 = 0$

解题步骤 5.2.4

从 $- x (4 x^{2}) - x (21 x)$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x (4 x^{2} + 21 x) - x \cdot 24 = 0$

解题步骤 5.2.5

从 $- x (4 x^{2} + 21 x) - x (24)$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x (4 x^{2} + 21 x + 24) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$4 x^{2} + 21 x + 24 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将 $4 x^{2} + 21 x + 24$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $4 x^{2} + 21 x + 24$ 设为等于 $0$ 。

$4 x^{2} + 21 x + 24 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $4 x^{2} + 21 x + 24 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.5.2.2

将 $a = 4$ 、 $b = 21$ 和 $c = 24$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 24)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.3

化简。

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解题步骤 5.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.3.1.1

对 $21$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 4 \cdot 24}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot 24$ 。

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解题步骤 5.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 16 \cdot 24}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.3.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $24$ 。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 384}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.3.1.3

从 $441$ 中减去 $384$ 。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 5.5.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 5.5.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.4.1.1

对 $21$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 4 \cdot 24}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot 24$ 。

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解题步骤 5.5.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 16 \cdot 24}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.4.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $24$ 。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 384}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.4.1.3

从 $441$ 中减去 $384$ 。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 5.5.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 21 + \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 5.5.2.4.4

将 $- 21$ 重写为 $- 1 (21)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 21 + \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 5.5.2.4.5

从 $\sqrt{57}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - 1 (- \sqrt{57})}{8}$

解题步骤 5.5.2.4.6

从 $- 1 (21) - 1 (- \sqrt{57})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (21 - \sqrt{57})}{8}$

解题步骤 5.5.2.4.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{21 - \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 5.5.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 5.5.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.5.1.1

对 $21$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 4 \cdot 24}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot 24$ 。

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解题步骤 5.5.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 16 \cdot 24}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.5.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $24$ 。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 384}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.5.1.3

从 $441$ 中减去 $384$ 。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.5.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 5.5.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 21 - \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 5.5.2.5.4

将 $- 21$ 重写为 $- 1 (21)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 5.5.2.5.5

从 $- \sqrt{57}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - (\sqrt{57})}{8}$

解题步骤 5.5.2.5.6

从 $- 1 (21) - (\sqrt{57})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (21 + \sqrt{57})}{8}$

解题步骤 5.5.2.5.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 5.5.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{21 - \sqrt{57}}{8}, - \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 5.6

最终解为使 $- x (4 x^{2} + 21 x + 24) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - \frac{21 - \sqrt{57}}{8}, - \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, - \frac{21 - \sqrt{57}}{8}, - \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 12 {(0)}^{2} - 42 \cdot 0 - 24$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 12 \cdot 0 - 42 \cdot 0 - 24$

解题步骤 9.1.2

将 $- 12$ 乘以 $0$ 。

$0 - 42 \cdot 0 - 24$

解题步骤 9.1.3

将 $- 42$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 - 24$

解题步骤 9.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 - 24$

解题步骤 9.2.2

从 $0$ 中减去 $24$ 。

$- 24$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = - {(0)}^{4} - 7 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = - 0 - 7 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2}$

解题步骤 11.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 - 7 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2}$

解题步骤 11.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 7 \cdot 0 - 12 {(0)}^{2}$

解题步骤 11.2.1.4

将 $- 7$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - 12 {(0)}^{2}$

解题步骤 11.2.1.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - 12 \cdot 0$

解题步骤 11.2.1.6

将 $- 12$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 0$

解题步骤 11.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 11.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 12

计算在 $x = - \frac{21 - \sqrt{57}}{8}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 13.1.1.1

对 $- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}$ 运用乘积法则。

$- 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}) - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.1.2

对 $\frac{21 - \sqrt{57}}{8}$ 运用乘积法则。

$- 12 ({(- 1)}^{2} \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}}) - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 12 (1 \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}}) - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.3

将 $\frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- 12 \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.4

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 12 \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{64} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.5.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (- 3) \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{64} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.5.2

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \cdot - 3 \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{4 \cdot 16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.5.3

约去公因数。

$4 \cdot - 3 \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{4 \cdot 16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.5.4

重写表达式。

$- 3 \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.6

组合 $- 3$ 和 $\frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{16}$ 。

$\frac{- 3 {(21 - \sqrt{57})}^{2}}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.7

将 ${(21 - \sqrt{57})}^{2}$ 重写为 $(21 - \sqrt{57}) (21 - \sqrt{57})$ 。

$\frac{- 3 ((21 - \sqrt{57}) (21 - \sqrt{57}))}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.8

使用 FOIL 方法展开 $(21 - \sqrt{57}) (21 - \sqrt{57})$ 。

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解题步骤 13.1.8.1

运用分配律。

$\frac{- 3 (21 (21 - \sqrt{57}) - \sqrt{57} (21 - \sqrt{57}))}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.8.2

运用分配律。

$\frac{- 3 (21 \cdot 21 + 21 (- \sqrt{57}) - \sqrt{57} (21 - \sqrt{57}))}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.8.3

运用分配律。

$\frac{- 3 (21 \cdot 21 + 21 (- \sqrt{57}) - \sqrt{57} \cdot 21 - \sqrt{57} (- \sqrt{57}))}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.9

化简并合并同类项。

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解题步骤 13.1.9.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.9.1.1

将 $21$ 乘以 $21$ 。

$\frac{- 3 (441 + 21 (- \sqrt{57}) - \sqrt{57} \cdot 21 - \sqrt{57} (- \sqrt{57}))}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.9.1.2

将 $- 1$ 乘以 $21$ 。

$\frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - \sqrt{57} \cdot 21 - \sqrt{57} (- \sqrt{57}))}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.9.1.3

将 $21$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} - \sqrt{57} (- \sqrt{57}))}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.9.1.4

乘以 $- \sqrt{57} (- \sqrt{57})$ 。

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解题步骤 13.1.9.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + 1 \sqrt{57} \sqrt{57})}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.9.1.4.2

将 $\sqrt{57}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} \sqrt{57})}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.9.1.4.3

对 $\sqrt{57}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{1} \sqrt{57})}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.9.1.4.4

对 $\sqrt{57}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{1} {\sqrt{57}}^{1})}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.9.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{1 + 1})}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.9.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{2})}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.9.1.5

将 ${\sqrt{57}}^{2}$ 重写为 $57$ 。

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解题步骤 13.1.9.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{57}$ 重写成 $57^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + {(57^{\frac{1}{2}})}^{2})}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.9.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + 57^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.9.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + 57^{\frac{2}{2}})}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.9.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.9.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + 57^{\frac{2}{2}})}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.9.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + 57^{1})}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.9.1.5.5

计算指数。

$\frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + 57)}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.9.2

将 $441$ 和 $57$ 相加。

$\frac{- 3 (498 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57})}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.9.3

从 $- 21 \sqrt{57}$ 中减去 $21 \sqrt{57}$ 。

$\frac{- 3 (498 - 42 \sqrt{57})}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.10

约去 $498 - 42 \sqrt{57}$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.10.1

从 $- 3 (498 - 42 \sqrt{57})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 3 (249 - 21 \sqrt{57}))}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.10.2

约去公因数。

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解题步骤 13.1.10.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 3 (249 - 21 \sqrt{57}))}{2 (8)} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.10.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- 3 (249 - 21 \sqrt{57}))}{2 \cdot 8} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.10.2.3

重写表达式。

$\frac{- 3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 13.1.12

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.12.1

将 $- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} - 42 \frac{- (21 - \sqrt{57})}{8} - 24$

解题步骤 13.1.12.2

从 $- 42$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} + 2 (- 21) \frac{- (21 - \sqrt{57})}{8} - 24$

解题步骤 13.1.12.3

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} + 2 \cdot - 21 \frac{- (21 - \sqrt{57})}{2 \cdot 4} - 24$

解题步骤 13.1.12.4

约去公因数。

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} + 2 \cdot - 21 \frac{- (21 - \sqrt{57})}{2 \cdot 4} - 24$

解题步骤 13.1.12.5

重写表达式。

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} - 21 \frac{- (21 - \sqrt{57})}{4} - 24$

解题步骤 13.1.13

组合 $- 21$ 和 $\frac{- (21 - \sqrt{57})}{4}$ 。

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{- 21 (- (21 - \sqrt{57}))}{4} - 24$

解题步骤 13.1.14

将 $- 1$ 乘以 $- 21$ 。

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 - \sqrt{57})}{4} - 24$

解题步骤 13.2

求公分母。

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解题步骤 13.2.1

将 $\frac{21 (21 - \sqrt{57})}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 - \sqrt{57})}{4} \cdot \frac{2}{2} - 24$

解题步骤 13.2.2

将 $\frac{21 (21 - \sqrt{57})}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 - \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} - 24$

解题步骤 13.2.3

将 $- 24$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 - \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 24}{1}$

解题步骤 13.2.4

将 $\frac{- 24}{1}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 - \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{8}{8}$

解题步骤 13.2.5

将 $\frac{- 24}{1}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 - \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 24 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.2.6

重新排序 $4 \cdot 2$ 的因式。

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 - \sqrt{57}) \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 24 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.2.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 - \sqrt{57}) \cdot 2}{8} + \frac{- 24 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 3 (249 - 21 \sqrt{57}) + 21 (21 - \sqrt{57}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4

化简每一项。

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解题步骤 13.4.1

运用分配律。

$\frac{- 3 \cdot 249 - 3 (- 21 \sqrt{57}) + 21 (21 - \sqrt{57}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.2

将 $- 3$ 乘以 $249$ 。

$\frac{- 747 - 3 (- 21 \sqrt{57}) + 21 (21 - \sqrt{57}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.3

将 $- 21$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{- 747 + 63 \sqrt{57} + 21 (21 - \sqrt{57}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.4

运用分配律。

$\frac{- 747 + 63 \sqrt{57} + (21 \cdot 21 + 21 (- \sqrt{57})) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.5

将 $21$ 乘以 $21$ 。

$\frac{- 747 + 63 \sqrt{57} + (441 + 21 (- \sqrt{57})) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.6

将 $- 1$ 乘以 $21$ 。

$\frac{- 747 + 63 \sqrt{57} + (441 - 21 \sqrt{57}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.7

运用分配律。

$\frac{- 747 + 63 \sqrt{57} + 441 \cdot 2 - 21 \sqrt{57} \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.8

将 $441$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 747 + 63 \sqrt{57} + 882 - 21 \sqrt{57} \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.9

将 $2$ 乘以 $- 21$ 。

$\frac{- 747 + 63 \sqrt{57} + 882 - 42 \sqrt{57} - 24 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.10

将 $- 24$ 乘以 $8$ 。

$\frac{- 747 + 63 \sqrt{57} + 882 - 42 \sqrt{57} - 192}{8}$

解题步骤 13.5

化简项。

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解题步骤 13.5.1

将 $- 747$ 和 $882$ 相加。

$\frac{135 + 63 \sqrt{57} - 42 \sqrt{57} - 192}{8}$

解题步骤 13.5.2

从 $135$ 中减去 $192$ 。

$\frac{- 57 + 63 \sqrt{57} - 42 \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 13.5.3

从 $63 \sqrt{57}$ 中减去 $42 \sqrt{57}$ 。

$\frac{- 57 + 21 \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 13.5.4

将 $- 57$ 重写为 $- 1 (57)$ 。

$\frac{- 1 (57) + 21 \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 13.5.5

从 $21 \sqrt{57}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (57) - (- 21 \sqrt{57})}{8}$

解题步骤 13.5.6

从 $- 1 (57) - (- 21 \sqrt{57})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (57 - 21 \sqrt{57})}{8}$

解题步骤 13.5.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{57 - 21 \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - \frac{21 - \sqrt{57}}{8}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{21 - \sqrt{57}}{8}$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = - \frac{21 - \sqrt{57}}{8}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{4} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 15.2.1.1.1

对 $- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - ({(- 1)}^{4} {(\frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{4}) - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.1.2

对 $\frac{21 - \sqrt{57}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - ({(- 1)}^{4} (\frac{{(21 - \sqrt{57})}^{4}}{8^{4}})) - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.2

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{4}$ 。

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解题步骤 15.2.1.2.1

移动 ${(- 1)}^{4}$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{4}}{8^{4}}) - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.2.2

将 ${(- 1)}^{4}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 15.2.1.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) (\frac{{(21 - \sqrt{57})}^{4}}{8^{4}})) - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = {(- 1)}^{4 + 1} (\frac{{(21 - \sqrt{57})}^{4}}{8^{4}}) - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.2.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = {(- 1)}^{5} (\frac{{(21 - \sqrt{57})}^{4}}{8^{4}}) - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.3

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{4}}{8^{4}} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.4

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.5

使用二项式定理。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{21^{4} + 4 \cdot (21^{3} (- \sqrt{57})) + 6 \cdot (21^{2} {(- \sqrt{57})}^{2}) + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.6.1

对 $21$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 4 \cdot (21^{3} (- \sqrt{57})) + 6 \cdot (21^{2} {(- \sqrt{57})}^{2}) + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.2

对 $21$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 4 \cdot (9261 (- \sqrt{57})) + 6 \cdot (21^{2} {(- \sqrt{57})}^{2}) + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.3

将 $4$ 乘以 $9261$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 (- \sqrt{57}) + 6 \cdot (21^{2} {(- \sqrt{57})}^{2}) + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.4

将 $- 1$ 乘以 $37044$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 6 \cdot (21^{2} {(- \sqrt{57})}^{2}) + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.5

对 $21$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 6 \cdot (441 {(- \sqrt{57})}^{2}) + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.6

将 $6$ 乘以 $441$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 2646 {(- \sqrt{57})}^{2} + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.7

对 $- \sqrt{57}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 2646 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{57}}^{2}) + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.8

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 2646 (1 {\sqrt{57}}^{2}) + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.9

将 ${\sqrt{57}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 2646 {\sqrt{57}}^{2} + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.10

将 ${\sqrt{57}}^{2}$ 重写为 $57$ 。

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解题步骤 15.2.1.6.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{57}$ 重写成 $57^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 2646 {(57^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 2646 \cdot 57^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 2646 \cdot 57^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.6.10.4.1

约去公因数。

解题步骤 15.2.1.6.10.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 2646 \cdot 57 + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.10.5

计算指数。

解题步骤 15.2.1.6.11

将 $2646$ 乘以 $57$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.12

将 $4$ 乘以 $21$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 {(- \sqrt{57})}^{3} + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.13

对 $- \sqrt{57}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{57}}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.14

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 (- {\sqrt{57}}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.15

将 ${\sqrt{57}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{57^{3}}$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 (- \sqrt{57^{3}}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.16

对 $57$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 (- \sqrt{185193}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.17

将 $185193$ 重写为 $57^{2} \cdot 57$ 。

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解题步骤 15.2.1.6.17.1

从 $185193$ 中分解出因数 $3249$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 (- \sqrt{3249 (57)}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.17.2

将 $3249$ 重写为 $57^{2}$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 (- \sqrt{57^{2} \cdot 57}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.18

从根式下提出各项。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 (- (57 \sqrt{57})) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.19

将 $57$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 (- 57 \sqrt{57}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.20

将 $- 57$ 乘以 $84$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 - 4788 \sqrt{57} + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.21

对 $- \sqrt{57}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 - 4788 \sqrt{57} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.22

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 - 4788 \sqrt{57} + 1 {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.23

将 ${\sqrt{57}}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 - 4788 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.24

将 ${\sqrt{57}}^{4}$ 重写为 $57^{2}$ 。

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解题步骤 15.2.1.6.24.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{57}$ 重写成 $57^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 - 4788 \sqrt{57} + {(57^{\frac{1}{2}})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.24.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 - 4788 \sqrt{57} + 57^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.24.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 - 4788 \sqrt{57} + 57^{\frac{4}{2}}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.24.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.6.24.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 - 4788 \sqrt{57} + 57^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.24.4.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.6.24.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 - 4788 \sqrt{57} + 57^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.24.4.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 - 4788 \sqrt{57} + 57^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.24.4.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 - 4788 \sqrt{57} + 57^{\frac{2}{1}}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.24.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 - 4788 \sqrt{57} + 57^{2}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.6.25

对 $57$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 - 4788 \sqrt{57} + 3249}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.7

将 $194481$ 和 $150822$ 相加。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{345303 - 37044 \sqrt{57} - 4788 \sqrt{57} + 3249}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.8

将 $345303$ 和 $3249$ 相加。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{348552 - 37044 \sqrt{57} - 4788 \sqrt{57}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.9

从 $- 37044 \sqrt{57}$ 中减去 $4788 \sqrt{57}$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{348552 - 41832 \sqrt{57}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.10

约去 $348552 - 41832 \sqrt{57}$ 和 $4096$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.10.1

从 $348552$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{8 (43569) - 41832 \sqrt{57}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.10.2

从 $- 41832 \sqrt{57}$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{8 (43569) + 8 (- 5229 \sqrt{57})}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.10.3

从 $8 (43569) + 8 (- 5229 \sqrt{57})$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{8 (43569 - 5229 \sqrt{57})}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.10.4

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.10.4.1

从 $4096$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{8 (43569 - 5229 \sqrt{57})}{8 \cdot 512} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.10.4.2

约去公因数。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{8 (43569 - 5229 \sqrt{57})}{8 \cdot 512} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.10.4.3

重写表达式。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.11

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 15.2.1.11.1

对 $- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 ({(- 1)}^{3} {(\frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.11.2

对 $\frac{21 - \sqrt{57}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(21 - \sqrt{57})}^{3}}{8^{3}})) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.12

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{3}}{8^{3}}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.13

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.14

使用二项式定理。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{21^{3} + 3 \cdot (21^{2} (- \sqrt{57})) + 3 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{2}) + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.15

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.15.1

对 $21$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 3 \cdot (21^{2} (- \sqrt{57})) + 3 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{2}) + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.15.2

对 $21$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 3 \cdot (441 (- \sqrt{57})) + 3 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{2}) + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.15.3

将 $3$ 乘以 $441$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 (- \sqrt{57}) + 3 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{2}) + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.15.4

将 $- 1$ 乘以 $1323$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 3 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{2}) + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.15.5

将 $3$ 乘以 $21$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 63 {(- \sqrt{57})}^{2} + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.15.6

对 $- \sqrt{57}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 63 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{57}}^{2}) + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.15.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 63 (1 {\sqrt{57}}^{2}) + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.15.8

将 ${\sqrt{57}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 63 {\sqrt{57}}^{2} + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.15.9

将 ${\sqrt{57}}^{2}$ 重写为 $57$ 。

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解题步骤 15.2.1.15.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{57}$ 重写成 $57^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 63 {(57^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.15.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 63 \cdot 57^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.15.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 63 \cdot 57^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.15.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.15.9.4.1

约去公因数。

解题步骤 15.2.1.15.9.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 63 \cdot 57 + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.15.9.5

计算指数。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 63 \cdot 57 + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.15.10

将 $63$ 乘以 $57$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 3591 + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.15.11

对 $- \sqrt{57}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 3591 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{57}}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.15.12

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 3591 - {\sqrt{57}}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.15.13

将 ${\sqrt{57}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{57^{3}}$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 3591 - \sqrt{57^{3}}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.15.14

对 $57$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 3591 - \sqrt{185193}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.15.15

将 $185193$ 重写为 $57^{2} \cdot 57$ 。

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解题步骤 15.2.1.15.15.1

从 $185193$ 中分解出因数 $3249$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 3591 - \sqrt{3249 (57)}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.15.15.2

将 $3249$ 重写为 $57^{2}$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 3591 - \sqrt{57^{2} \cdot 57}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.15.16

从根式下提出各项。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 3591 - (57 \sqrt{57})}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.15.17

将 $57$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 3591 - 57 \sqrt{57}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.16

将 $9261$ 和 $3591$ 相加。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{12852 - 1323 \sqrt{57} - 57 \sqrt{57}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.17

从 $- 1323 \sqrt{57}$ 中减去 $57 \sqrt{57}$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{12852 - 1380 \sqrt{57}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.18

约去 $12852 - 1380 \sqrt{57}$ 和 $512$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.18.1

从 $12852$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{4 (3213) - 1380 \sqrt{57}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.18.2

从 $- 1380 \sqrt{57}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{4 (3213) + 4 (- 345 \sqrt{57})}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.18.3

从 $4 (3213) + 4 (- 345 \sqrt{57})$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{4 (3213 - 345 \sqrt{57})}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.18.4

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.18.4.1

从 $512$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{4 (3213 - 345 \sqrt{57})}{4 \cdot 128}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.18.4.2

约去公因数。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{4 (3213 - 345 \sqrt{57})}{4 \cdot 128}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.18.4.3

重写表达式。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{3213 - 345 \sqrt{57}}{128}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.19

乘以 $- 7 (- \frac{3213 - 345 \sqrt{57}}{128})$ 。

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解题步骤 15.2.1.19.1

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + 7 (\frac{3213 - 345 \sqrt{57}}{128}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.19.2

组合 $7$ 和 $\frac{3213 - 345 \sqrt{57}}{128}$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 15.2.1.20

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 15.2.1.20.1

对 $- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2})$

解题步骤 15.2.1.20.2

对 $\frac{21 - \sqrt{57}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} - 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}}))$

解题步骤 15.2.1.21

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} - 12 (1 (\frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}}))$

解题步骤 15.2.1.22

将 $\frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} - 12 \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}}$

解题步骤 15.2.1.23

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} - 12 \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{64}$

解题步骤 15.2.1.24

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.24.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + 4 (- 3) (\frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{64})$

解题步骤 15.2.1.24.2

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + 4 \cdot (- 3 \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{4 \cdot 16})$

解题步骤 15.2.1.24.3

约去公因数。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + 4 \cdot (- 3 \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{4 \cdot 16})$

解题步骤 15.2.1.24.4

重写表达式。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} - 3 \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{16}$

解题步骤 15.2.1.25

组合 $- 3$ 和 $\frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{16}$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 {(21 - \sqrt{57})}^{2}}{16}$

解题步骤 15.2.1.26

将 ${(21 - \sqrt{57})}^{2}$ 重写为 $(21 - \sqrt{57}) (21 - \sqrt{57})$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 ((21 - \sqrt{57}) (21 - \sqrt{57}))}{16}$

解题步骤 15.2.1.27

使用 FOIL 方法展开 $(21 - \sqrt{57}) (21 - \sqrt{57})$ 。

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解题步骤 15.2.1.27.1

运用分配律。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (21 (21 - \sqrt{57}) - \sqrt{57} (21 - \sqrt{57}))}{16}$

解题步骤 15.2.1.27.2

运用分配律。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (21 \cdot 21 + 21 (- \sqrt{57}) - \sqrt{57} (21 - \sqrt{57}))}{16}$

解题步骤 15.2.1.27.3

运用分配律。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (21 \cdot 21 + 21 (- \sqrt{57}) - \sqrt{57} \cdot 21 - \sqrt{57} (- \sqrt{57}))}{16}$

解题步骤 15.2.1.28

化简并合并同类项。

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解题步骤 15.2.1.28.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.28.1.1

将 $21$ 乘以 $21$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 + 21 (- \sqrt{57}) - \sqrt{57} \cdot 21 - \sqrt{57} (- \sqrt{57}))}{16}$

解题步骤 15.2.1.28.1.2

将 $- 1$ 乘以 $21$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - \sqrt{57} \cdot 21 - \sqrt{57} (- \sqrt{57}))}{16}$

解题步骤 15.2.1.28.1.3

将 $21$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} - \sqrt{57} (- \sqrt{57}))}{16}$

解题步骤 15.2.1.28.1.4

乘以 $- \sqrt{57} (- \sqrt{57})$ 。

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解题步骤 15.2.1.28.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + 1 \sqrt{57} \sqrt{57})}{16}$

解题步骤 15.2.1.28.1.4.2

将 $\sqrt{57}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} \sqrt{57})}{16}$

解题步骤 15.2.1.28.1.4.3

对 $\sqrt{57}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} \sqrt{57})}{16}$

解题步骤 15.2.1.28.1.4.4

对 $\sqrt{57}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} \sqrt{57})}{16}$

解题步骤 15.2.1.28.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{1 + 1})}{16}$

解题步骤 15.2.1.28.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{2})}{16}$

解题步骤 15.2.1.28.1.5

将 ${\sqrt{57}}^{2}$ 重写为 $57$ 。

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解题步骤 15.2.1.28.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{57}$ 重写成 $57^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + {(57^{\frac{1}{2}})}^{2})}{16}$

解题步骤 15.2.1.28.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + 57^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{16}$

解题步骤 15.2.1.28.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + 57^{\frac{2}{2}})}{16}$

解题步骤 15.2.1.28.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.28.1.5.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + 57^{\frac{2}{2}})}{16}$

解题步骤 15.2.1.28.1.5.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + 57)}{16}$

解题步骤 15.2.1.28.1.5.5

计算指数。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + 57)}{16}$

解题步骤 15.2.1.28.2

将 $441$ 和 $57$ 相加。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (498 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57})}{16}$

解题步骤 15.2.1.28.3

从 $- 21 \sqrt{57}$ 中减去 $21 \sqrt{57}$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (498 - 42 \sqrt{57})}{16}$

解题步骤 15.2.1.29

约去 $498 - 42 \sqrt{57}$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.29.1

从 $- 3 (498 - 42 \sqrt{57})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{2 (- 3 (249 - 21 \sqrt{57}))}{16}$

解题步骤 15.2.1.29.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.29.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{2 (- 3 (249 - 21 \sqrt{57}))}{2 (8)}$

解题步骤 15.2.1.29.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{2 (- 3 (249 - 21 \sqrt{57}))}{2 \cdot 8}$

解题步骤 15.2.1.29.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8}$

解题步骤 15.2.1.30

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} - \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8}$

解题步骤 15.2.2

求公分母。

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解题步骤 15.2.2.1

将 $\frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8}$

解题步骤 15.2.2.2

将 $\frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8}$

解题步骤 15.2.2.3

将 $\frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8}$ 乘以 $\frac{64}{64}$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - (\frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} \cdot \frac{64}{64})$

解题步骤 15.2.2.4

将 $\frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8}$ 乘以 $\frac{64}{64}$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{8 \cdot 64}$

解题步骤 15.2.2.5

重新排序 $128 \cdot 4$ 的因式。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57}) \cdot 4}{4 \cdot 128} - \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{8 \cdot 64}$

解题步骤 15.2.2.6

将 $4$ 乘以 $128$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57}) \cdot 4}{512} - \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{8 \cdot 64}$

解题步骤 15.2.2.7

将 $8$ 乘以 $64$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57}) \cdot 4}{512} - \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

解题步骤 15.2.3

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- (43569 - 5229 \sqrt{57}) + 7 (3213 - 345 \sqrt{57}) \cdot 4 - 3 (249 - 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

解题步骤 15.2.4

化简每一项。

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解题步骤 15.2.4.1

运用分配律。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 1 \cdot 43569 - (- 5229 \sqrt{57}) + 7 (3213 - 345 \sqrt{57}) \cdot 4 - 3 (249 - 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

解题步骤 15.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $43569$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - (- 5229 \sqrt{57}) + 7 (3213 - 345 \sqrt{57}) \cdot 4 - 3 (249 - 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

解题步骤 15.2.4.3

将 $- 5229$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 + 5229 \sqrt{57} + 7 (3213 - 345 \sqrt{57}) \cdot 4 - 3 (249 - 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

解题步骤 15.2.4.4

运用分配律。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 + 5229 \sqrt{57} + (7 \cdot 3213 + 7 (- 345 \sqrt{57})) \cdot 4 - 3 (249 - 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

解题步骤 15.2.4.5

将 $7$ 乘以 $3213$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 + 5229 \sqrt{57} + (22491 + 7 (- 345 \sqrt{57})) \cdot 4 - 3 (249 - 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

解题步骤 15.2.4.6

将 $- 345$ 乘以 $7$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 + 5229 \sqrt{57} + (22491 - 2415 \sqrt{57}) \cdot 4 - 3 (249 - 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

解题步骤 15.2.4.7

运用分配律。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 + 5229 \sqrt{57} + 22491 \cdot 4 - 2415 \sqrt{57} \cdot 4 - 3 (249 - 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

解题步骤 15.2.4.8

将 $22491$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 + 5229 \sqrt{57} + 89964 - 2415 \sqrt{57} \cdot 4 - 3 (249 - 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

解题步骤 15.2.4.9

将 $4$ 乘以 $- 2415$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 + 5229 \sqrt{57} + 89964 - 9660 \sqrt{57} - 3 (249 - 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

解题步骤 15.2.4.10

运用分配律。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 + 5229 \sqrt{57} + 89964 - 9660 \sqrt{57} + (- 3 \cdot 249 - 3 (- 21 \sqrt{57})) \cdot 64}{512}$

解题步骤 15.2.4.11

将 $- 3$ 乘以 $249$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 + 5229 \sqrt{57} + 89964 - 9660 \sqrt{57} + (- 747 - 3 (- 21 \sqrt{57})) \cdot 64}{512}$

解题步骤 15.2.4.12

将 $- 21$ 乘以 $- 3$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 + 5229 \sqrt{57} + 89964 - 9660 \sqrt{57} + (- 747 + 63 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

解题步骤 15.2.4.13

运用分配律。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 + 5229 \sqrt{57} + 89964 - 9660 \sqrt{57} - 747 \cdot 64 + 63 \sqrt{57} \cdot 64}{512}$

解题步骤 15.2.4.14

将 $- 747$ 乘以 $64$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 + 5229 \sqrt{57} + 89964 - 9660 \sqrt{57} - 47808 + 63 \sqrt{57} \cdot 64}{512}$

解题步骤 15.2.4.15

将 $64$ 乘以 $63$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 + 5229 \sqrt{57} + 89964 - 9660 \sqrt{57} - 47808 + 4032 \sqrt{57}}{512}$

解题步骤 15.2.5

化简项。

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解题步骤 15.2.5.1

将 $- 43569$ 和 $89964$ 相加。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{46395 + 5229 \sqrt{57} - 9660 \sqrt{57} - 47808 + 4032 \sqrt{57}}{512}$

解题步骤 15.2.5.2

从 $46395$ 中减去 $47808$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 1413 + 5229 \sqrt{57} - 9660 \sqrt{57} + 4032 \sqrt{57}}{512}$

解题步骤 15.2.5.3

从 $5229 \sqrt{57}$ 中减去 $9660 \sqrt{57}$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 1413 - 4431 \sqrt{57} + 4032 \sqrt{57}}{512}$

解题步骤 15.2.5.4

将 $- 4431 \sqrt{57}$ 和 $4032 \sqrt{57}$ 相加。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 1413 - 399 \sqrt{57}}{512}$

解题步骤 15.2.5.5

将 $- 1413$ 重写为 $- 1 (1413)$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 1 \cdot 1413 - 399 \sqrt{57}}{512}$

解题步骤 15.2.5.6

从 $- 399 \sqrt{57}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 1 \cdot 1413 - (399 \sqrt{57})}{512}$

解题步骤 15.2.5.7

从 $- 1 (1413) - (399 \sqrt{57})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 1 (1413 + 399 \sqrt{57})}{512}$

解题步骤 15.2.5.8

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{1413 + 399 \sqrt{57}}{512}$

解题步骤 15.2.6

最终答案为 $- \frac{1413 + 399 \sqrt{57}}{512}$ 。

$y = - \frac{1413 + 399 \sqrt{57}}{512}$

解题步骤 16

计算在 $x = - \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 17.1.1.1

对 $- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$ 运用乘积法则。

$- 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}) - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 17.1.1.2

对 $\frac{21 + \sqrt{57}}{8}$ 运用乘积法则。

$- 12 ({(- 1)}^{2} \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}}) - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 17.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 12 (1 \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}}) - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 17.1.3

将 $\frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- 12 \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 17.1.4

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 12 \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{64} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 17.1.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.5.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (- 3) \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{64} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 17.1.5.2

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \cdot - 3 \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{4 \cdot 16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 17.1.5.3

约去公因数。

$4 \cdot - 3 \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{4 \cdot 16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 17.1.5.4

重写表达式。

$- 3 \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 17.1.6

组合 $- 3$ 和 $\frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{16}$ 。

$\frac{- 3 {(21 + \sqrt{57})}^{2}}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 17.1.7

将 ${(21 + \sqrt{57})}^{2}$ 重写为 $(21 + \sqrt{57}) (21 + \sqrt{57})$ 。

$\frac{- 3 ((21 + \sqrt{57}) (21 + \sqrt{57}))}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 17.1.8

使用 FOIL 方法展开 $(21 + \sqrt{57}) (21 + \sqrt{57})$ 。

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解题步骤 17.1.8.1

运用分配律。

$\frac{- 3 (21 (21 + \sqrt{57}) + \sqrt{57} (21 + \sqrt{57}))}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 17.1.8.2

运用分配律。

$\frac{- 3 (21 \cdot 21 + 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} (21 + \sqrt{57}))}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 17.1.8.3

运用分配律。

$\frac{- 3 (21 \cdot 21 + 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} \cdot 21 + \sqrt{57} \sqrt{57})}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 17.1.9

化简并合并同类项。

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解题步骤 17.1.9.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.9.1.1

将 $21$ 乘以 $21$ 。

$\frac{- 3 (441 + 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} \cdot 21 + \sqrt{57} \sqrt{57})}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 17.1.9.1.2

将 $21$ 移到 $\sqrt{57}$ 的左侧。

$\frac{- 3 (441 + 21 \sqrt{57} + 21 \cdot \sqrt{57} + \sqrt{57} \sqrt{57})}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 17.1.9.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{- 3 (441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + \sqrt{57 \cdot 57})}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 17.1.9.1.4

将 $57$ 乘以 $57$ 。

$\frac{- 3 (441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + \sqrt{3249})}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 17.1.9.1.5

将 $3249$ 重写为 $57^{2}$ 。

$\frac{- 3 (441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + \sqrt{57^{2}})}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 17.1.9.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{- 3 (441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + 57)}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 17.1.9.2

将 $441$ 和 $57$ 相加。

$\frac{- 3 (498 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57})}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 17.1.9.3

将 $21 \sqrt{57}$ 和 $21 \sqrt{57}$ 相加。

$\frac{- 3 (498 + 42 \sqrt{57})}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 17.1.10

约去 $498 + 42 \sqrt{57}$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.10.1

从 $- 3 (498 + 42 \sqrt{57})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 3 (249 + 21 \sqrt{57}))}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 17.1.10.2

约去公因数。

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解题步骤 17.1.10.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 3 (249 + 21 \sqrt{57}))}{2 (8)} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 17.1.10.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- 3 (249 + 21 \sqrt{57}))}{2 \cdot 8} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 17.1.10.2.3

重写表达式。

$\frac{- 3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 17.1.11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

解题步骤 17.1.12

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.12.1

将 $- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} - 42 \frac{- (21 + \sqrt{57})}{8} - 24$

解题步骤 17.1.12.2

从 $- 42$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} + 2 (- 21) \frac{- (21 + \sqrt{57})}{8} - 24$

解题步骤 17.1.12.3

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} + 2 \cdot - 21 \frac{- (21 + \sqrt{57})}{2 \cdot 4} - 24$

解题步骤 17.1.12.4

约去公因数。

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} + 2 \cdot - 21 \frac{- (21 + \sqrt{57})}{2 \cdot 4} - 24$

解题步骤 17.1.12.5

重写表达式。

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} - 21 \frac{- (21 + \sqrt{57})}{4} - 24$

解题步骤 17.1.13

组合 $- 21$ 和 $\frac{- (21 + \sqrt{57})}{4}$ 。

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{- 21 (- (21 + \sqrt{57}))}{4} - 24$

解题步骤 17.1.14

将 $- 1$ 乘以 $- 21$ 。

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 + \sqrt{57})}{4} - 24$

解题步骤 17.2

求公分母。

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解题步骤 17.2.1

将 $\frac{21 (21 + \sqrt{57})}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 + \sqrt{57})}{4} \cdot \frac{2}{2} - 24$

解题步骤 17.2.2

将 $\frac{21 (21 + \sqrt{57})}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 + \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} - 24$

解题步骤 17.2.3

将 $- 24$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 + \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 24}{1}$

解题步骤 17.2.4

将 $\frac{- 24}{1}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 + \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{8}{8}$

解题步骤 17.2.5

将 $\frac{- 24}{1}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 + \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 24 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.2.6

重新排序 $4 \cdot 2$ 的因式。

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 + \sqrt{57}) \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 24 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.2.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 + \sqrt{57}) \cdot 2}{8} + \frac{- 24 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 3 (249 + 21 \sqrt{57}) + 21 (21 + \sqrt{57}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4

化简每一项。

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解题步骤 17.4.1

运用分配律。

$\frac{- 3 \cdot 249 - 3 (21 \sqrt{57}) + 21 (21 + \sqrt{57}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.2

将 $- 3$ 乘以 $249$ 。

$\frac{- 747 - 3 (21 \sqrt{57}) + 21 (21 + \sqrt{57}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.3

将 $21$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{- 747 - 63 \sqrt{57} + 21 (21 + \sqrt{57}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.4

运用分配律。

$\frac{- 747 - 63 \sqrt{57} + (21 \cdot 21 + 21 \sqrt{57}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.5

将 $21$ 乘以 $21$ 。

$\frac{- 747 - 63 \sqrt{57} + (441 + 21 \sqrt{57}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.6

运用分配律。

$\frac{- 747 - 63 \sqrt{57} + 441 \cdot 2 + 21 \sqrt{57} \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.7

将 $441$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 747 - 63 \sqrt{57} + 882 + 21 \sqrt{57} \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.8

将 $2$ 乘以 $21$ 。

$\frac{- 747 - 63 \sqrt{57} + 882 + 42 \sqrt{57} - 24 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.9

将 $- 24$ 乘以 $8$ 。

$\frac{- 747 - 63 \sqrt{57} + 882 + 42 \sqrt{57} - 192}{8}$

解题步骤 17.5

化简项。

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解题步骤 17.5.1

将 $- 747$ 和 $882$ 相加。

$\frac{135 - 63 \sqrt{57} + 42 \sqrt{57} - 192}{8}$

解题步骤 17.5.2

从 $135$ 中减去 $192$ 。

$\frac{- 57 - 63 \sqrt{57} + 42 \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 17.5.3

将 $- 63 \sqrt{57}$ 和 $42 \sqrt{57}$ 相加。

$\frac{- 57 - 21 \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 17.5.4

将 $- 57$ 重写为 $- 1 (57)$ 。

$\frac{- 1 (57) - 21 \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 17.5.5

从 $- 21 \sqrt{57}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (57) - (21 \sqrt{57})}{8}$

解题步骤 17.5.6

从 $- 1 (57) - (21 \sqrt{57})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (57 + 21 \sqrt{57})}{8}$

解题步骤 17.5.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{57 + 21 \sqrt{57}}{8}$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$ 是一个极大值

解题步骤 19

求 $x = - \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$ 时的 y 值。

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解题步骤 19.1

使用表达式中的 $- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{4} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 19.2.1.1.1

对 $- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - ({(- 1)}^{4} {(\frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{4}) - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.1.2

对 $\frac{21 + \sqrt{57}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - ({(- 1)}^{4} (\frac{{(21 + \sqrt{57})}^{4}}{8^{4}})) - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.2

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{4}$ 。

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解题步骤 19.2.1.2.1

移动 ${(- 1)}^{4}$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{4}}{8^{4}}) - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.2.2

将 ${(- 1)}^{4}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 19.2.1.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) (\frac{{(21 + \sqrt{57})}^{4}}{8^{4}})) - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = {(- 1)}^{4 + 1} (\frac{{(21 + \sqrt{57})}^{4}}{8^{4}}) - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.2.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = {(- 1)}^{5} (\frac{{(21 + \sqrt{57})}^{4}}{8^{4}}) - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.3

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{4}}{8^{4}} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.4

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.5

使用二项式定理。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{21^{4} + 4 \cdot (21^{3} \sqrt{57}) + 6 \cdot (21^{2} {\sqrt{57}}^{2}) + 4 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{3}) + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.6

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.6.1

对 $21$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 4 \cdot (21^{3} \sqrt{57}) + 6 \cdot (21^{2} {\sqrt{57}}^{2}) + 4 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{3}) + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.6.2

对 $21$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 4 \cdot (9261 \sqrt{57}) + 6 \cdot (21^{2} {\sqrt{57}}^{2}) + 4 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{3}) + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.6.3

将 $4$ 乘以 $9261$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 6 \cdot (21^{2} {\sqrt{57}}^{2}) + 4 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{3}) + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.6.4

对 $21$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 6 \cdot (441 {\sqrt{57}}^{2}) + 4 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{3}) + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.6.5

将 $6$ 乘以 $441$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 2646 {\sqrt{57}}^{2} + 4 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{3}) + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.6.6

将 ${\sqrt{57}}^{2}$ 重写为 $57$ 。

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解题步骤 19.2.1.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{57}$ 重写成 $57^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 2646 {(57^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{3}) + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 2646 \cdot 57^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{3}) + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 2646 \cdot 57^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{3}) + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.6.6.4.1

约去公因数。

解题步骤 19.2.1.6.6.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 2646 \cdot 57 + 4 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{3}) + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.6.6.5

计算指数。

解题步骤 19.2.1.6.7

将 $2646$ 乘以 $57$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 4 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{3}) + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.6.8

将 $4$ 乘以 $21$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 {\sqrt{57}}^{3} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.6.9

将 ${\sqrt{57}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{57^{3}}$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 \sqrt{57^{3}} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.6.10

对 $57$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 \sqrt{185193} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.6.11

将 $185193$ 重写为 $57^{2} \cdot 57$ 。

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解题步骤 19.2.1.6.11.1

从 $185193$ 中分解出因数 $3249$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 \sqrt{3249 (57)} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.6.11.2

将 $3249$ 重写为 $57^{2}$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 \sqrt{57^{2} \cdot 57} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.6.12

从根式下提出各项。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 (57 \sqrt{57}) + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.6.13

将 $57$ 乘以 $84$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 4788 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.6.14

将 ${\sqrt{57}}^{4}$ 重写为 $57^{2}$ 。

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解题步骤 19.2.1.6.14.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{57}$ 重写成 $57^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 4788 \sqrt{57} + {(57^{\frac{1}{2}})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.6.14.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 4788 \sqrt{57} + 57^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.6.14.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 4788 \sqrt{57} + 57^{\frac{4}{2}}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.6.14.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.6.14.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 4788 \sqrt{57} + 57^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.6.14.4.2

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.6.14.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 4788 \sqrt{57} + 57^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.6.14.4.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 4788 \sqrt{57} + 57^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.6.14.4.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 4788 \sqrt{57} + 57^{\frac{2}{1}}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.6.14.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 4788 \sqrt{57} + 57^{2}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.6.15

对 $57$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 4788 \sqrt{57} + 3249}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.7

将 $194481$ 和 $150822$ 相加。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{345303 + 37044 \sqrt{57} + 4788 \sqrt{57} + 3249}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.8

将 $345303$ 和 $3249$ 相加。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{348552 + 37044 \sqrt{57} + 4788 \sqrt{57}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.9

将 $37044 \sqrt{57}$ 和 $4788 \sqrt{57}$ 相加。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{348552 + 41832 \sqrt{57}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.10

约去 $348552 + 41832 \sqrt{57}$ 和 $4096$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.10.1

从 $348552$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{8 (43569) + 41832 \sqrt{57}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.10.2

从 $41832 \sqrt{57}$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{8 (43569) + 8 (5229 \sqrt{57})}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.10.3

从 $8 (43569) + 8 (5229 \sqrt{57})$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{8 (43569 + 5229 \sqrt{57})}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.10.4

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.10.4.1

从 $4096$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{8 (43569 + 5229 \sqrt{57})}{8 \cdot 512} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.10.4.2

约去公因数。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{8 (43569 + 5229 \sqrt{57})}{8 \cdot 512} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.10.4.3

重写表达式。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.11

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 19.2.1.11.1

对 $- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 ({(- 1)}^{3} {(\frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.11.2

对 $\frac{21 + \sqrt{57}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(21 + \sqrt{57})}^{3}}{8^{3}})) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.12

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{3}}{8^{3}}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.13

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.14

使用二项式定理。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{21^{3} + 3 \cdot (21^{2} \sqrt{57}) + 3 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{2}) + {\sqrt{57}}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.15

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.15.1

对 $21$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 3 \cdot (21^{2} \sqrt{57}) + 3 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{2}) + {\sqrt{57}}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.15.2

对 $21$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 3 \cdot (441 \sqrt{57}) + 3 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{2}) + {\sqrt{57}}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.15.3

将 $3$ 乘以 $441$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 \sqrt{57} + 3 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{2}) + {\sqrt{57}}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.15.4

将 $3$ 乘以 $21$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 \sqrt{57} + 63 {\sqrt{57}}^{2} + {\sqrt{57}}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.15.5

将 ${\sqrt{57}}^{2}$ 重写为 $57$ 。

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解题步骤 19.2.1.15.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{57}$ 重写成 $57^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 \sqrt{57} + 63 {(57^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{57}}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.15.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 \sqrt{57} + 63 \cdot 57^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{57}}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.15.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 \sqrt{57} + 63 \cdot 57^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{57}}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.15.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.15.5.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 \sqrt{57} + 63 \cdot 57^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{57}}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.15.5.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 \sqrt{57} + 63 \cdot 57 + {\sqrt{57}}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.15.5.5

计算指数。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 \sqrt{57} + 63 \cdot 57 + {\sqrt{57}}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.15.6

将 $63$ 乘以 $57$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 \sqrt{57} + 3591 + {\sqrt{57}}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.15.7

将 ${\sqrt{57}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{57^{3}}$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 \sqrt{57} + 3591 + \sqrt{57^{3}}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.15.8

对 $57$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 \sqrt{57} + 3591 + \sqrt{185193}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.15.9

将 $185193$ 重写为 $57^{2} \cdot 57$ 。

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解题步骤 19.2.1.15.9.1

从 $185193$ 中分解出因数 $3249$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 \sqrt{57} + 3591 + \sqrt{3249 (57)}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.15.9.2

将 $3249$ 重写为 $57^{2}$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 \sqrt{57} + 3591 + \sqrt{57^{2} \cdot 57}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.15.10

从根式下提出各项。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 \sqrt{57} + 3591 + 57 \sqrt{57}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.16

将 $9261$ 和 $3591$ 相加。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{12852 + 1323 \sqrt{57} + 57 \sqrt{57}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.17

将 $1323 \sqrt{57}$ 和 $57 \sqrt{57}$ 相加。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{12852 + 1380 \sqrt{57}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.18

约去 $12852 + 1380 \sqrt{57}$ 和 $512$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.18.1

从 $12852$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{4 (3213) + 1380 \sqrt{57}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.18.2

从 $1380 \sqrt{57}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{4 (3213) + 4 (345 \sqrt{57})}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.18.3

从 $4 (3213) + 4 (345 \sqrt{57})$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{4 (3213 + 345 \sqrt{57})}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.18.4

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.18.4.1

从 $512$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{4 (3213 + 345 \sqrt{57})}{4 \cdot 128}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.18.4.2

约去公因数。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{4 (3213 + 345 \sqrt{57})}{4 \cdot 128}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.18.4.3

重写表达式。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{3213 + 345 \sqrt{57}}{128}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.19

乘以 $- 7 (- \frac{3213 + 345 \sqrt{57}}{128})$ 。

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解题步骤 19.2.1.19.1

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + 7 (\frac{3213 + 345 \sqrt{57}}{128}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.19.2

组合 $7$ 和 $\frac{3213 + 345 \sqrt{57}}{128}$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

解题步骤 19.2.1.20

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 19.2.1.20.1

对 $- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2})$

解题步骤 19.2.1.20.2

对 $\frac{21 + \sqrt{57}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} - 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}}))$

解题步骤 19.2.1.21

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} - 12 (1 (\frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}}))$

解题步骤 19.2.1.22

将 $\frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} - 12 \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}}$

解题步骤 19.2.1.23

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} - 12 \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{64}$

解题步骤 19.2.1.24

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.24.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + 4 (- 3) (\frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{64})$

解题步骤 19.2.1.24.2

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + 4 \cdot (- 3 \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{4 \cdot 16})$

解题步骤 19.2.1.24.3

约去公因数。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + 4 \cdot (- 3 \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{4 \cdot 16})$

解题步骤 19.2.1.24.4

重写表达式。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} - 3 \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{16}$

解题步骤 19.2.1.25

组合 $- 3$ 和 $\frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{16}$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 {(21 + \sqrt{57})}^{2}}{16}$

解题步骤 19.2.1.26

将 ${(21 + \sqrt{57})}^{2}$ 重写为 $(21 + \sqrt{57}) (21 + \sqrt{57})$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 ((21 + \sqrt{57}) (21 + \sqrt{57}))}{16}$

解题步骤 19.2.1.27

使用 FOIL 方法展开 $(21 + \sqrt{57}) (21 + \sqrt{57})$ 。

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解题步骤 19.2.1.27.1

运用分配律。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (21 (21 + \sqrt{57}) + \sqrt{57} (21 + \sqrt{57}))}{16}$

解题步骤 19.2.1.27.2

运用分配律。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (21 \cdot 21 + 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} (21 + \sqrt{57}))}{16}$

解题步骤 19.2.1.27.3

运用分配律。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (21 \cdot 21 + 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} \cdot 21 + \sqrt{57} \sqrt{57})}{16}$

解题步骤 19.2.1.28

化简并合并同类项。

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解题步骤 19.2.1.28.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.28.1.1

将 $21$ 乘以 $21$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 + 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} \cdot 21 + \sqrt{57} \sqrt{57})}{16}$

解题步骤 19.2.1.28.1.2

将 $21$ 移到 $\sqrt{57}$ 的左侧。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 + 21 \sqrt{57} + 21 \cdot \sqrt{57} + \sqrt{57} \sqrt{57})}{16}$

解题步骤 19.2.1.28.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + \sqrt{57 \cdot 57})}{16}$

解题步骤 19.2.1.28.1.4

将 $57$ 乘以 $57$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + \sqrt{3249})}{16}$

解题步骤 19.2.1.28.1.5

将 $3249$ 重写为 $57^{2}$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + \sqrt{57^{2}})}{16}$

解题步骤 19.2.1.28.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + 57)}{16}$

解题步骤 19.2.1.28.2

将 $441$ 和 $57$ 相加。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (498 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57})}{16}$

解题步骤 19.2.1.28.3

将 $21 \sqrt{57}$ 和 $21 \sqrt{57}$ 相加。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (498 + 42 \sqrt{57})}{16}$

解题步骤 19.2.1.29

约去 $498 + 42 \sqrt{57}$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.29.1

从 $- 3 (498 + 42 \sqrt{57})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{2 (- 3 (249 + 21 \sqrt{57}))}{16}$

解题步骤 19.2.1.29.2

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.29.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{2 (- 3 (249 + 21 \sqrt{57}))}{2 (8)}$

解题步骤 19.2.1.29.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{2 (- 3 (249 + 21 \sqrt{57}))}{2 \cdot 8}$

解题步骤 19.2.1.29.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8}$

解题步骤 19.2.1.30

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} - \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8}$

解题步骤 19.2.2

求公分母。

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解题步骤 19.2.2.1

将 $\frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8}$

解题步骤 19.2.2.2

将 $\frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8}$

解题步骤 19.2.2.3

将 $\frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8}$ 乘以 $\frac{64}{64}$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - (\frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} \cdot \frac{64}{64})$

解题步骤 19.2.2.4

将 $\frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8}$ 乘以 $\frac{64}{64}$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{8 \cdot 64}$

解题步骤 19.2.2.5

重新排序 $128 \cdot 4$ 的因式。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57}) \cdot 4}{4 \cdot 128} - \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{8 \cdot 64}$

解题步骤 19.2.2.6

将 $4$ 乘以 $128$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57}) \cdot 4}{512} - \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{8 \cdot 64}$

解题步骤 19.2.2.7

将 $8$ 乘以 $64$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57}) \cdot 4}{512} - \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

解题步骤 19.2.3

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- (43569 + 5229 \sqrt{57}) + 7 (3213 + 345 \sqrt{57}) \cdot 4 - 3 (249 + 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

解题步骤 19.2.4

化简每一项。

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解题步骤 19.2.4.1

运用分配律。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 1 \cdot 43569 - (5229 \sqrt{57}) + 7 (3213 + 345 \sqrt{57}) \cdot 4 - 3 (249 + 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

解题步骤 19.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $43569$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - (5229 \sqrt{57}) + 7 (3213 + 345 \sqrt{57}) \cdot 4 - 3 (249 + 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

解题步骤 19.2.4.3

将 $5229$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - 5229 \sqrt{57} + 7 (3213 + 345 \sqrt{57}) \cdot 4 - 3 (249 + 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

解题步骤 19.2.4.4

运用分配律。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - 5229 \sqrt{57} + (7 \cdot 3213 + 7 (345 \sqrt{57})) \cdot 4 - 3 (249 + 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

解题步骤 19.2.4.5

将 $7$ 乘以 $3213$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - 5229 \sqrt{57} + (22491 + 7 (345 \sqrt{57})) \cdot 4 - 3 (249 + 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

解题步骤 19.2.4.6

将 $345$ 乘以 $7$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - 5229 \sqrt{57} + (22491 + 2415 \sqrt{57}) \cdot 4 - 3 (249 + 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

解题步骤 19.2.4.7

运用分配律。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - 5229 \sqrt{57} + 22491 \cdot 4 + 2415 \sqrt{57} \cdot 4 - 3 (249 + 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

解题步骤 19.2.4.8

将 $22491$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - 5229 \sqrt{57} + 89964 + 2415 \sqrt{57} \cdot 4 - 3 (249 + 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

解题步骤 19.2.4.9

将 $4$ 乘以 $2415$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - 5229 \sqrt{57} + 89964 + 9660 \sqrt{57} - 3 (249 + 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

解题步骤 19.2.4.10

运用分配律。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - 5229 \sqrt{57} + 89964 + 9660 \sqrt{57} + (- 3 \cdot 249 - 3 (21 \sqrt{57})) \cdot 64}{512}$

解题步骤 19.2.4.11

将 $- 3$ 乘以 $249$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - 5229 \sqrt{57} + 89964 + 9660 \sqrt{57} + (- 747 - 3 (21 \sqrt{57})) \cdot 64}{512}$

解题步骤 19.2.4.12

将 $21$ 乘以 $- 3$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - 5229 \sqrt{57} + 89964 + 9660 \sqrt{57} + (- 747 - 63 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

解题步骤 19.2.4.13

运用分配律。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - 5229 \sqrt{57} + 89964 + 9660 \sqrt{57} - 747 \cdot 64 - 63 \sqrt{57} \cdot 64}{512}$

解题步骤 19.2.4.14

将 $- 747$ 乘以 $64$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - 5229 \sqrt{57} + 89964 + 9660 \sqrt{57} - 47808 - 63 \sqrt{57} \cdot 64}{512}$

解题步骤 19.2.4.15

将 $64$ 乘以 $- 63$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - 5229 \sqrt{57} + 89964 + 9660 \sqrt{57} - 47808 - 4032 \sqrt{57}}{512}$

解题步骤 19.2.5

化简项。

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解题步骤 19.2.5.1

将 $- 43569$ 和 $89964$ 相加。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{46395 - 5229 \sqrt{57} + 9660 \sqrt{57} - 47808 - 4032 \sqrt{57}}{512}$

解题步骤 19.2.5.2

从 $46395$ 中减去 $47808$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 1413 - 5229 \sqrt{57} + 9660 \sqrt{57} - 4032 \sqrt{57}}{512}$

解题步骤 19.2.5.3

将 $- 5229 \sqrt{57}$ 和 $9660 \sqrt{57}$ 相加。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 1413 + 4431 \sqrt{57} - 4032 \sqrt{57}}{512}$

解题步骤 19.2.5.4

从 $4431 \sqrt{57}$ 中减去 $4032 \sqrt{57}$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 1413 + 399 \sqrt{57}}{512}$

解题步骤 19.2.5.5

将 $- 1413$ 重写为 $- 1 (1413)$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 1 \cdot 1413 + 399 \sqrt{57}}{512}$

解题步骤 19.2.5.6

从 $399 \sqrt{57}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 1 \cdot 1413 - (- 399 \sqrt{57})}{512}$

解题步骤 19.2.5.7

从 $- 1 (1413) - (- 399 \sqrt{57})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 1 (1413 - 399 \sqrt{57})}{512}$

解题步骤 19.2.5.8

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{1413 - 399 \sqrt{57}}{512}$

解题步骤 19.2.6

最终答案为 $- \frac{1413 - 399 \sqrt{57}}{512}$ 。

$y = - \frac{1413 - 399 \sqrt{57}}{512}$

解题步骤 20

这些是 $f (x) = - x^{4} - 7 x^{3} - 12 x^{2}$ 的局部极值。

$(0, 0)$ 是一个局部最大值

$(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}, - \frac{1413 + 399 \sqrt{57}}{512})$ 是一个局部最小值

$(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}, - \frac{1413 - 399 \sqrt{57}}{512})$ 是一个局部最大值

解题步骤 21

微积分学 示例

微积分学示例