微积分学示例

$\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{36 - x^{2}}} d x$

解题步骤 1

使 $x = 6 \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = 6 \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $6 \cos (t)$ 为正数。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}} (6 \cos (t)) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

对 $6 \sin (t)$ 运用乘积法则。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - (6^{2} \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.1.2

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - (36 \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.1.3

将 $36$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - 36 \sin^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.2

从 $36$ 中分解出因数 $36$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1) - 36 \sin^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.3

从 $- 36 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $36$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.4

从 $36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $36$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1 - \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.5

使用勾股恒等式。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 \cos^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.6

将 $36 \cos^{2} (t)$ 重写为 ${(6 \cos (t))}^{2}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{{(6 \cos (t))}^{2}}} (6 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{6 \cos (t)} (6 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.2

约去 $6 \cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{6 \cos (t)} (6 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.2.2

重写表达式。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 6 \sin (t) d t$

解题步骤 3

由于 $6$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$6 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin (t) d t$

解题步骤 4

$\sin (t)$ 对 $t$ 的积分为 $- \cos (t)$ 。

$6 (- \cos (t)]_{0}^{\frac{π}{6}})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

计算 $- \cos (t)$ 在 $\frac{π}{6}$ 处和在 $0$ 处的值。

$6 ((- \cos (\frac{π}{6})) + \cos (0))$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (0))$

解题步骤 5.2.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + 1)$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

运用分配律。

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 6 \cdot 1$

解题步骤 5.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$6 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

解题步骤 5.3.2.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (3) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

解题步骤 5.3.2.3

约去公因数。

$2 \cdot 3 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

解题步骤 5.3.2.4

重写表达式。

$3 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot 1$

解题步骤 5.3.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 \sqrt{3} + 6 \cdot 1$

解题步骤 5.3.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$- 3 \sqrt{3} + 6$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- 3 \sqrt{3} + 6$

小数形式：

$0.80384757 \dots$

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