微积分学示例

$f (x) = 4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 4 e^{- 2 x} d x + \int {(x - 1)}^{3} d x$

解题步骤 4

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int e^{- 2 x} d x + \int {(x - 1)}^{3} d x$

解题步骤 5

使 $u_{1} = - 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u_{1} = - 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $- 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 5.1.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 5.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 5.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$4 \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将负号移到分数的前面。

$4 \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

解题步骤 6.2

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$4 \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$4 (- \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int {(x - 1)}^{3} d x$

解题步骤 8

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- 4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int {(x - 1)}^{3} d x$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 4$ 。

$\frac{- 4}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

解题步骤 10.2

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

解题步骤 10.2.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

解题步骤 10.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

解题步骤 10.2.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2}{1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

解题步骤 10.2.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$- 2 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

解题步骤 11

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$- 2 (e^{u_{1}} + C) + \int {(x - 1)}^{3} d x$

解题步骤 12

使 $u_{2} = x - 1$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 12.1

设 $u_{2} = x - 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1.1

对 $x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 12.1.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 12.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 12.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 12.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 12.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$- 2 (e^{u_{1}} + C) + \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

解题步骤 13

根据幂法则， ${u_{2}}^{3}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ 。

$- 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

解题步骤 14

化简。

$- 2 e^{u_{1}} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

解题步骤 15

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 15.1

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

解题步骤 15.2

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{4} {(x - 1)}^{4} + C$

解题步骤 16

答案是函数 $f (x) = 4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{4} {(x - 1)}^{4} + C$

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