微积分学示例

$\int \frac{1}{θ^{2}} \sin (\frac{1}{θ}) \cos (\frac{1}{θ}) d θ$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

组合 $\sin (\frac{1}{θ})$ 和 $\frac{1}{θ^{2}}$ 。

$\int \frac{\sin (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} \cdot \cos (\frac{1}{θ}) d θ$

解题步骤 1.2

组合 $\frac{\sin (\frac{1}{θ})}{θ^{2}}$ 和 $\cos (\frac{1}{θ})$ 。

$\int \frac{\sin (\frac{1}{θ}) \cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$

解题步骤 2

使 $u_{2} = \sin (\frac{1}{θ})$ 。然后使 $d u_{2} = - \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$ ，以便 $- d u_{2} = \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{2} = \sin (\frac{1}{θ})$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d θ}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\sin (\frac{1}{θ})$ 求导。

$\frac{d}{d θ} [\sin (\frac{1}{θ})]$

解题步骤 2.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 等于 $f' (g (θ)) g' (θ)$ ，其中 $f (θ) = \sin (θ)$ 且 $g (θ) = \frac{1}{θ}$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{1}{θ}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

解题步骤 2.1.2.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

解题步骤 2.1.2.3

使用 $\frac{1}{θ}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\cos (\frac{1}{θ}) \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.1.3.1

将 $\frac{1}{θ}$ 重写为 $θ^{- 1}$ 。

$\cos (\frac{1}{θ}) \frac{d}{d θ} [θ^{- 1}]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ 等于 $n θ^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\cos (\frac{1}{θ}) (- θ^{- 2})$

解题步骤 2.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\cos (\frac{1}{θ}) (- \frac{1}{θ^{2}})$

解题步骤 2.1.4.2

组合 $\cos (\frac{1}{θ})$ 和 $\frac{1}{θ^{2}}$ 。

$- \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}}$

解题步骤 2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int - u_{2} d u_{2}$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int u_{2} d u_{2}$

解题步骤 4

根据幂法则， $u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 。

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

解题步骤 5

将 $- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ 重写为 $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ 。

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 6

使用 $\sin (\frac{1}{θ})$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{2} \sin^{2} (\frac{1}{θ}) + C$

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