微积分学示例

$f (x) = 2 \sin (6 x + 3) - 4 x$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 2 \sin (6 x + 3) - 4 x d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 \sin (6 x + 3) d x + \int - 4 x d x$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \sin (6 x + 3) d x + \int - 4 x d x$

解题步骤 5

使 $u = 6 x + 3$ 。然后使 $d u = 6 d x$ ，以便 $\frac{1}{6} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = 6 x + 3$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $6 x + 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [6 x + 3]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $6 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x]$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 5.1.3.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 5.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.1.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 + 0$

解题步骤 5.1.4.2

将 $6$ 和 $0$ 相加。

$6$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$2 \int \sin (u) \frac{1}{6} d u + \int - 4 x d x$

解题步骤 6

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$2 \int \frac{\sin (u)}{6} d u + \int - 4 x d x$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{6} \int \sin (u) d u) + \int - 4 x d x$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{6} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

解题步骤 8.2

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{6} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

解题步骤 8.2.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

解题步骤 8.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

解题步骤 8.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

解题步骤 9

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) + \int - 4 x d x$

解题步骤 10

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) - 4 \int x d x$

解题步骤 11

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简。

$- \frac{\cos (u)}{3} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 12.2

化简。

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解题步骤 12.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$- \frac{\cos (u)}{3} - 4 \frac{x^{2}}{2} + C$

解题步骤 12.2.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{- 4 x^{2}}{2} + C$

解题步骤 12.2.3

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.3.1

从 $- 4 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2} + C$

解题步骤 12.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (1)} + C$

解题步骤 12.2.3.2.2

约去公因数。

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

解题步骤 12.2.3.2.3

重写表达式。

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{- 2 x^{2}}{1} + C$

解题步骤 12.2.3.2.4

用 $- 2 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$- \frac{\cos (u)}{3} - 2 x^{2} + C$

解题步骤 13

使用 $6 x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{\cos (6 x + 3)}{3} - 2 x^{2} + C$

解题步骤 14

重新排序项。

$- \frac{1}{3} \cos (6 x + 3) - 2 x^{2} + C$

解题步骤 15

答案是函数 $f (x) = 2 \sin (6 x + 3) - 4 x$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos (6 x + 3) - 2 x^{2} + C$

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