微积分学示例

$lim_{x \to \infty} {(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 ${(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}}$ 重写为 $e^{\ln ({(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}})}$ 。

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}})}$

解题步骤 1.2

通过将 $\frac{1}{x}$ 移到对数外来展开 $\ln ({(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}})$ 。

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x} \ln (1 + 5 e^{x})}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln (1 + 5 e^{x})}$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\ln (1 + 5 e^{x})$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 5 e^{x})}{x}}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (1 + 5 e^{x})}{lim_{x \to \infty} x}}$

解题步骤 3.1.2

当对数趋于无穷大时，值趋于 $\infty$ 。

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

解题步骤 3.1.3

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

解题步骤 3.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 5 e^{x})}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 e^{x})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 e^{x})]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 1 + 5 e^{x}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 + 5 e^{x}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 5 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 5 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $1 + 5 e^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} \frac{d}{d x} [1 + 5 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.3

根据加法法则， $1 + 5 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [5 e^{x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ 相加。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} \frac{d}{d x} [5 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.6

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} \cdot 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.7

组合 $5$ 和 $\frac{1}{1 + 5 e^{x}}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{1 + 5 e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.8

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{1 + 5 e^{x}} e^{x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.9

组合 $\frac{5}{1 + 5 e^{x}}$ 和 $e^{x}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 e^{x}}{1 + 5 e^{x}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.10

重新排序项。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1}}{1}}$

解题步骤 3.4

将分子乘以分母的倒数。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1} \cdot 1}$

解题步骤 3.5

将 $\frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1}$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1}}$

解题步骤 4

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x} + 1}}$

解题步骤 5

运用洛必达法则。

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解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{5 \frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 5 e^{x} + 1}}$

解题步骤 5.1.2

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$e^{5 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 e^{x} + 1}}$

解题步骤 5.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 5.1.3.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{5 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}}$

解题步骤 5.1.3.2

因为函数 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ ，所以正常数 $5$ 乘以函数也趋于 $\infty$ 。

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解题步骤 5.1.3.2.1

思考去掉常数倍数 $5$ 后的极限。

$e^{5 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}}$

解题步骤 5.1.3.2.2

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$e^{5 \frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}}$

解题步骤 5.1.3.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$e^{5 \frac{\infty}{\infty + 1}}$

解题步骤 5.1.3.4

无穷大加上或减去一个数结果为无穷大。

$e^{5 \frac{\infty}{\infty}}$

解题步骤 5.1.3.5

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$e^{5 \frac{\infty}{\infty}}$

解题步骤 5.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$e^{5 \frac{\infty}{\infty}}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 e^{x} + 1]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 e^{x} + 1]}}$

解题步骤 5.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 e^{x} + 1]}}$

解题步骤 5.3.3

根据加法法则， $5 e^{x} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}}$

解题步骤 5.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}}$

解题步骤 5.3.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}}$

解题步骤 5.3.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x} + 0}}$

解题步骤 5.3.6

将 $5 e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x}}}$

解题步骤 5.4

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

约去公因数。

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x}}}$

解题步骤 5.4.2

重写表达式。

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{5}}$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{1}{5}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$e^{5 (\frac{1}{5})}$

解题步骤 6.2

化简答案。

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解题步骤 6.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$e^{5 (\frac{1}{5})}$

解题步骤 6.2.1.2

重写表达式。

$e^{1}$

解题步骤 6.2.2

化简。

$e$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$e$

小数形式：

$2.71828182 \dots$

微积分学 示例

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