微积分学示例

$\int_{0}^{\infty} e^{- s t} d t$

解题步骤 1

将积分表示为 $t_{1}$ 趋于 $\infty$ 时的极限。

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{t_{1}} e^{- s t} d t$

解题步骤 2

使 $u = - s t$ 。然后使 $d u = - s d t$ ，以便 $- \frac{1}{s} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = - s t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $- s t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [- s t]$

解题步骤 2.1.2

因为 $- s$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- s t$ 对 $t$ 的导数是 $- s \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- s \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- s \cdot 1$

解题步骤 2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- s$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = - s t$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = - s \cdot 0$

解题步骤 2.3

乘以 $- s \cdot 0$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$u_{lower} = 0 s$

解题步骤 2.3.2

将 $0$ 乘以 $s$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = - s t$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = - s t_{1}$

解题步骤 2.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - s t_{1}$

解题步骤 2.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t_{1}} - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - e^{u} \frac{1}{s} d u$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{s}$ 和 $e^{u}$ 。

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - \frac{e^{u}}{s} d u$

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t_{1}} - \frac{e^{u}}{s} d u$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$lim_{t_{1} \to \infty} - \int_{0}^{- s t_{1}} \frac{e^{u}}{s} d u$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{s}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{s}$ 移到积分外。

$lim_{t_{1} \to \infty} - (\frac{1}{s} \int_{0}^{- s t_{1}} e^{u} d u)$

解题步骤 6

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{1}{s} e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}$

解题步骤 7

组合 $e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}$ 和 $\frac{1}{s}$ 。

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}}{s}$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $e^{u}$ 在 $- s t_{1}$ 处和在 $0$ 处的值。

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{(e^{- s t_{1}}) - e^{0}}{s}$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{- s t_{1}} - 1 \cdot 1}{s}$

解题步骤 8.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{- s t_{1}} - 1}{s}$

解题步骤 9

计算极限值。

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解题步骤 9.1

计算极限值。

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解题步骤 9.1.1

因为项 $- 1$ 对于 $t_{1}$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{t_{1} \to \infty} \frac{e^{- s t_{1}} - 1}{s}$

解题步骤 9.1.2

因为项 $\frac{1}{s}$ 对于 $t_{1}$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{s} lim_{t_{1} \to \infty} e^{- s t_{1}} - 1$

解题步骤 9.1.3

当 $t_{1}$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- \frac{1}{s} (lim_{t_{1} \to \infty} e^{- s t_{1}} - lim_{t_{1} \to \infty} 1)$

解题步骤 9.2

因为指数 $- s t_{1}$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{- s t_{1}}$ 趋于 $0$ 。

$- \frac{1}{s} (0 - lim_{t_{1} \to \infty} 1)$

解题步骤 9.3

计算极限值。

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解题步骤 9.3.1

计算 $1$ 的极限值，当 $t_{1}$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{s} (0 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 9.3.2

化简答案。

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解题步骤 9.3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{s} (0 - 1)$

解题步骤 9.3.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{1}{s} \cdot - 1$

解题步骤 9.3.2.3

乘以 $- \frac{1}{s} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 9.3.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{1}{s}$

解题步骤 9.3.2.3.2

将 $\frac{1}{s}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{s}$

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