微积分学示例

$\int \frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) - 1} d x$

解题步骤 1

使 $u = \sec (x) - 1$ 。然后使 $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \sec (x) - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\sec (x) - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sec (x) - 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $\sec (x) - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\sec (x) \tan (x) + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $\sec (x) \tan (x)$ 和 $0$ 相加。

$\sec (x) \tan (x)$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |) + C$

解题步骤 3

使用 $\sec (x) - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| \sec (x) - 1 |) + C$

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