微积分学示例

$f (x) = 2 x^{3}$ at $(2, 16)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 2$ 和 $y = 16$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 (3 x^{2})$

解题步骤 1.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 x^{2}$

解题步骤 1.4

计算在 $x = 2$ 处的导数。

$6 {(2)}^{2}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$6 \cdot 4$

解题步骤 1.5.2

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$24$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $24$ 和给定点 $(2, 16)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (16) = 24 \cdot (x - (2))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 16 = 24 \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $24 \cdot (x - 2)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 16 = 0 + 0 + 24 \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 16 = 24 \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 16 = 24 x + 24 \cdot - 2$

解题步骤 2.3.1.4

将 $24$ 乘以 $- 2$ 。

$y - 16 = 24 x - 48$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $16$ 。

$y = 24 x - 48 + 16$

解题步骤 2.3.2.2

将 $- 48$ 和 $16$ 相加。

$y = 24 x - 32$

解题步骤 3

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