微积分学示例

$\int_{- 7}^{0} (\frac{y}{7} + \sqrt{y + 8}) d y$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{- 7}^{0} \frac{y}{7} + \sqrt{y + 8} d y$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 7}^{0} \frac{y}{7} d y + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{7}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{1}{7}$ 移到积分外。

$\frac{1}{7} \int_{- 7}^{0} y d y + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

解题步骤 4

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

解题步骤 5

使 $u = y + 8$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = y + 8$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $y + 8$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 8]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $y + 8$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [8]$

解题步骤 5.1.4

因为 $8$ 对于 $y$ 是常数，所以 $8$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 5.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u = y + 8$ 中的 $y$ 。

$u_{lower} = - 7 + 8$

解题步骤 5.3

将 $- 7$ 和 $8$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u = y + 8$ 中的 $y$ 。

$u_{upper} = 0 + 8$

解题步骤 5.5

将 $0$ 和 $8$ 相加。

$u_{upper} = 8$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

解题步骤 5.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{1}^{8} \sqrt{u} d u$

解题步骤 6

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{8}$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $\frac{1}{2} y^{2}$ 在 $0$ 处和在 $- 7$ 处的值。

$\frac{1}{7} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{8}$

解题步骤 8.2

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $8$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{7} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{7} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{7} (0 - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.3

对 $- 7$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{7} (0 - \frac{1}{2} \cdot 49) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.4

将 $49$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{7} (0 - 49 (\frac{1}{2})) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.5

组合 $- 49$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{7} (0 + \frac{- 49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{7} (0 - \frac{49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.7

从 $0$ 中减去 $\frac{49}{2}$ 。

$\frac{1}{7} (- \frac{49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.8

将 $\frac{1}{7}$ 乘以 $\frac{49}{2}$ 。

$- \frac{49}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.9

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{49}{14} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.10

约去 $49$ 和 $14$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.10.1

从 $49$ 中分解出因数 $7$ 。

$- \frac{7 (7)}{14} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.10.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.10.2.1

从 $14$ 中分解出因数 $7$ 。

$- \frac{7 \cdot 7}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.10.2.2

约去公因数。

$- \frac{7 \cdot 7}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.10.2.3

重写表达式。

$- \frac{7}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.11

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $8^{\frac{3}{2}}$ 。

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.12

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.13

将 ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.3.13.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.13.2

乘以 $3 (\frac{3}{2})$ 。

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解题步骤 8.3.13.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.13.2.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.15

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.16

在公分母上合并分子。

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.17

将 $2$ 和 $9$ 相加。

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.3.18

一的任意次幂都为一。

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

解题步骤 8.3.19

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

解题步骤 8.3.20

在公分母上合并分子。

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$

解题步骤 8.3.21

要将 $- \frac{7}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$

解题步骤 8.3.22

要将 $\frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 8.3.23

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 8.3.23.1

将 $\frac{7}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 8.3.23.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 8.3.23.3

将 $\frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{(2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{3 \cdot 2}$

解题步骤 8.3.23.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{(2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

解题步骤 8.3.24

在公分母上合并分子。

$\frac{- 7 \cdot 3 + (2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

解题步骤 8.3.25

将 $- 7$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 21 + (2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

解题步骤 8.3.26

将 $2$ 移到 $2^{\frac{11}{2}} - 2$ 的左侧。

$\frac{- 21 + 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将 $- 21$ 重写为 $- 1 (21)$ 。

$\frac{- 1 (21) + 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

解题步骤 9.2

从 $2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (21) - (- 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))}{6}$

解题步骤 9.3

从 $- 1 (21) - (- 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (21 - 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))}{6}$

解题步骤 9.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{21 - 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$- \frac{21 - 2 \cdot 2^{\frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

解题步骤 10.2

乘以 $- 2 \cdot 2^{\frac{11}{2}}$ 。

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解题步骤 10.2.1

提取负因数。

$- \frac{21 - (2 \cdot 2^{\frac{11}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

解题步骤 10.2.2

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{21 - (2^{1} \cdot 2^{\frac{11}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

解题步骤 10.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{21 - 2^{1 + \frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

解题步骤 10.2.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{21 - 2^{\frac{2}{2} + \frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

解题步骤 10.2.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{21 - 2^{\frac{2 + 11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

解题步骤 10.2.6

将 $2$ 和 $11$ 相加。

$- \frac{21 - 2^{\frac{13}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

解题步骤 10.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{21 - 2^{\frac{13}{2}} + 4}{6}$

解题步骤 10.4

将 $21$ 和 $4$ 相加。

$- \frac{25 - 2^{\frac{13}{2}}}{6}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{25 - 2^{\frac{13}{2}}}{6}$

小数形式：

$10.91827799 \dots$

解题步骤 12

微积分学 示例

微积分学示例