微积分学示例

$f (x) = \frac{4}{3} - \frac{1}{2} x^{- 1} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $\frac{4}{3} - \frac{1}{2} x^{- 1} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $\frac{4}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4}{3}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 1}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{2} x^{- 1}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ 。

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$0 - \frac{1}{2} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 1 (\frac{1}{2}) x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.2.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$0 + \frac{1}{2} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.2.5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- 2}$ 。

$0 + \frac{x^{- 2}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.2.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{4} x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.3.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.3.4

组合 $\frac{4}{4}$ 和 $x^{3}$ 。

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.3.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.5.1

约去公因数。

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.3.5.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + x^{3} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + x^{3} + \frac{1}{2} (3 x^{2})$

解题步骤 1.4.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$

解题步骤 1.4.4

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $0$ 和 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 相加。

$\frac{1}{2 x^{2}} + x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$

解题步骤 1.5.2

重新排序项。

$f' (x) = x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{2 x^{2}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{2 x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 x^{2}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} + \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

解题步骤 2.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$3 x^{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

解题步骤 2.2.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$3 x^{2} + \frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

解题步骤 2.2.5

组合 $\frac{6}{2}$ 和 $x$ 。

$3 x^{2} + \frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

解题步骤 2.2.6

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.6.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

解题步骤 2.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

解题步骤 2.2.6.2.2

约去公因数。

$3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

解题步骤 2.2.6.2.3

重写表达式。

$3 x^{2} + \frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

解题步骤 2.2.6.2.4

用 $3 x$ 除以 $1$ 。

$3 x^{2} + 3 x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.3.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

解题步骤 2.3.5

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

解题步骤 2.3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- x^{- 4} (2 x))$

解题步骤 2.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- 2 x^{- 4} x)$

解题步骤 2.3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

解题步骤 2.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- 2 x^{1 - 4})$

解题步骤 2.3.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- 2 x^{- 3})$

解题步骤 2.3.10

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$3 x^{2} + 3 x + \frac{- 2}{2} x^{- 3}$

解题步骤 2.3.11

组合 $\frac{- 2}{2}$ 和 $x^{- 3}$ 。

$3 x^{2} + 3 x + \frac{- 2 x^{- 3}}{2}$

解题步骤 2.3.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分母。

$3 x^{2} + 3 x + \frac{- 2}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.3.13

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.13.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 x^{2} + 3 x + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.3.13.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.13.2.1

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 x^{2} + 3 x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{3})}$

解题步骤 2.3.13.2.2

约去公因数。

$3 x^{2} + 3 x + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.3.13.2.3

重写表达式。

$3 x^{2} + 3 x + \frac{- 1}{x^{3}}$

解题步骤 2.3.14

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 3 x - \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 x^{2} + 3 x - \frac{1}{x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 3.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$6 x + 3 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x^{3}}$ 。

$6 x + 3 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.4.2

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$6 x + 3 - \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3}$ 。

$6 x + 3 - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$6 x + 3 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.4.3.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 x + 3 - (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$6 x + 3 - (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.4.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 x + 3 - (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

解题步骤 3.4.6

将 ${(x^{3})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$6 x + 3 - (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

解题步骤 3.4.6.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$6 x + 3 - (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

解题步骤 3.4.7

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$6 x + 3 - (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

解题步骤 3.4.8

通过指数相加将 $x^{- 6}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.8.1

移动 $x^{2}$ 。

$6 x + 3 - (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

解题步骤 3.4.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 x + 3 - (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

解题步骤 3.4.8.3

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$6 x + 3 - (- 3 x^{- 4}) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

解题步骤 3.4.9

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$6 x + 3 + 3 x^{- 4} + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

解题步骤 3.4.10

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 乘以 $0$ 。

$6 x + 3 + 3 x^{- 4} + 0$

解题步骤 3.4.11

将 $3 x^{- 4}$ 和 $0$ 相加。

$6 x + 3 + 3 x^{- 4}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$6 x + 3 + 3 \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 3.5.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$6 x + 3 + \frac{3}{x^{4}}$

解题步骤 3.5.3

重新排序项。

$f''' (x) = 6 x + \frac{3}{x^{4}} + 3$

解题步骤 4

$f (x)$ 对 $x$ 的三阶导数是 $6 x + \frac{3}{x^{4}} + 3$ 。

$6 x + \frac{3}{x^{4}} + 3$

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