微积分学示例

$\int_{1}^{4} (x^{2} + x) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{1}^{4} x^{2} + x d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} x d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} x d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}$ 和 $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3} + \frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 5.2.2

化简。

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解题步骤 5.2.2.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot 64 + \frac{1}{2} \cdot 4^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 5.2.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $64$ 。

$\frac{64}{3} + \frac{1}{2} \cdot 4^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 5.2.2.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{64}{3} + \frac{1}{2} \cdot 16 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 5.2.2.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $16$ 。

$\frac{64}{3} + \frac{16}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 5.2.2.5

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.5.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{64}{3} + \frac{2 \cdot 8}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 5.2.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{64}{3} + \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 5.2.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{64}{3} + \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 5.2.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{64}{3} + \frac{8}{1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 5.2.2.5.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$\frac{64}{3} + 8 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 5.2.2.6

要将 $8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{64}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 5.2.2.7

组合 $8$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{64}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 5.2.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{64 + 8 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 5.2.2.9

化简分子。

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解题步骤 5.2.2.9.1

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$\frac{64 + 24}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 5.2.2.9.2

将 $64$ 和 $24$ 相加。

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 5.2.2.10

一的任意次幂都为一。

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 5.2.2.11

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

解题步骤 5.2.2.12

一的任意次幂都为一。

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

解题步骤 5.2.2.13

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2})$

解题步骤 5.2.2.14

要将 $\frac{1}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

解题步骤 5.2.2.15

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 5.2.2.16

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 5.2.2.16.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{88}{3} - (\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 5.2.2.16.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{88}{3} - (\frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 5.2.2.16.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{88}{3} - (\frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3})$

解题步骤 5.2.2.16.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{88}{3} - (\frac{2}{6} + \frac{3}{6})$

解题步骤 5.2.2.17

在公分母上合并分子。

$\frac{88}{3} - \frac{2 + 3}{6}$

解题步骤 5.2.2.18

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{88}{3} - \frac{5}{6}$

解题步骤 5.2.2.19

要将 $\frac{88}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{88}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{6}$

解题步骤 5.2.2.20

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 5.2.2.20.1

将 $\frac{88}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{88 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{5}{6}$

解题步骤 5.2.2.20.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{88 \cdot 2}{6} - \frac{5}{6}$

解题步骤 5.2.2.21

在公分母上合并分子。

$\frac{88 \cdot 2 - 5}{6}$

解题步骤 5.2.2.22

化简分子。

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解题步骤 5.2.2.22.1

将 $88$ 乘以 $2$ 。

$\frac{176 - 5}{6}$

解题步骤 5.2.2.22.2

从 $176$ 中减去 $5$ 。

$\frac{171}{6}$

解题步骤 5.2.2.23

约去 $171$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.23.1

从 $171$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (57)}{6}$

解题步骤 5.2.2.23.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.23.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 57}{3 \cdot 2}$

解题步骤 5.2.2.23.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 57}{3 \cdot 2}$

解题步骤 5.2.2.23.2.3

重写表达式。

$\frac{57}{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{57}{2}$

小数形式：

$28.5$

带分数形式：

$28 \frac{1}{2}$

解题步骤 7

微积分学 示例

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