微积分学示例

$\int \frac{1}{x \sqrt{4 x^{2} + 1}} d x$

解题步骤 1

使 $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ 为正数。

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\tan (t)$ 。

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.2

对 $\frac{\tan (t)}{2}$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.4.1

约去公因数。

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.4.2

重写表达式。

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.2

使用勾股恒等式。

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{\sec^{2} (t)}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\tan (t)$ 。

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t)}{2} \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2.2

组合 $\frac{\tan (t)}{2}$ 和 $\sec (t)$ 。

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ 。

$\int 1 \frac{2}{\tan (t) \sec (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2.4

将 $\frac{2}{\tan (t) \sec (t)}$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{2}{\tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2.5

将 $\frac{2}{\tan (t) \sec (t)}$ 乘以 $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ 。

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{\tan (t) \sec (t) \cdot 2} d t$

解题步骤 2.2.6

将 $2$ 移到 $\tan (t) \sec (t)$ 的左侧。

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \cdot (\tan (t) \sec (t))} d t$

解题步骤 2.2.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.7.1

约去公因数。

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \tan (t) \sec (t)} d t$

解题步骤 2.2.7.2

重写表达式。

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t) \sec (t)} d t$

解题步骤 2.2.8

约去 $\sec^{2} (t)$ 和 $\sec (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.8.1

从 $\sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\tan (t) \sec (t)} d t$

解题步骤 2.2.8.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.8.2.1

从 $\tan (t) \sec (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \tan (t)} d t$

解题步骤 2.2.8.2.2

约去公因数。

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \tan (t)} d t$

解题步骤 2.2.8.2.3

重写表达式。

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

解题步骤 2.2.9

将 $\tan (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

解题步骤 2.2.10

将 $\sec (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

解题步骤 2.2.11

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ 。

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

解题步骤 2.2.12

约去 $\cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.12.1

约去公因数。

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

解题步骤 2.2.12.2

重写表达式。

$\int \frac{1}{\sin (t)} d t$

解题步骤 2.2.13

将 $\frac{1}{\sin (t)}$ 转换成 $\csc (t)$ 。

$\int \csc (t) d t$

解题步骤 3

$\csc (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ 。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

解题步骤 4

使用 $\arctan (2 x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\ln (| \csc (\arctan (2 x)) - \cot (\arctan (2 x)) |) + C$

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