微积分学示例

$lim_{r \to 0^{+}} - 11 (\frac{r}{3}) \ln (\frac{r}{5})$

解题步骤 1

因为项 $- 11$ 对于 $r$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 11 lim_{r \to 0^{+}} \frac{r}{3} \ln (\frac{r}{5})$

解题步骤 2

组合 $\frac{r}{3}$ 和 $\ln (\frac{r}{5})$ 。

$- 11 lim_{r \to 0^{+}} \frac{r \ln (\frac{r}{5})}{3}$

解题步骤 3

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $r$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} r \ln (\frac{r}{5})$

解题步骤 4

将 $r \ln (\frac{r}{5})$ 重写为 $\frac{\ln (\frac{r}{5})}{\frac{1}{r}}$ 。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{r}{5})}{\frac{1}{r}}$

解题步骤 5

运用洛必达法则。

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解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{r \to 0^{+}} \ln (\frac{r}{5})}{lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r}}$

解题步骤 5.1.2

当 $r$ 从右边趋于 $0$ 时， $\ln (\frac{r}{5})$ 无限递减。

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r}}$

解题步骤 5.1.3

因为分子是常数且当 $r$ 从右边趋于 $0$ 时分母趋于 $0$ ，所以分数 $\frac{1}{r}$ 趋于无穷大。

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{\infty}$

解题步骤 5.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{\infty}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{- \infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{r \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{r}{5})}{\frac{1}{r}} = lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d r} [\ln (\frac{r}{5})]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d r} [\ln (\frac{r}{5})]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

解题步骤 5.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ 等于 $f' (g (r)) g' (r)$ ，其中 $f (r) = \ln (r)$ 且 $g (r) = \frac{r}{5}$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{r}{5}$ 。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

解题步骤 5.3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

解题步骤 5.3.2.3

使用 $\frac{r}{5}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{r}{5}} \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

解题步骤 5.3.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{r}{5}$ 。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{1 \frac{5}{r} \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

解题步骤 5.3.4

将 $\frac{5}{r}$ 乘以 $1$ 。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{5}{r} \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

解题步骤 5.3.5

因为 $\frac{1}{5}$ 对于 $r$ 是常数，所以 $\frac{r}{5}$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{1}{5} \frac{d}{d r} [r]$ 。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{5}{r} \cdot \frac{1}{5} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

解题步骤 5.3.6

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{5}{r}$ 。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{5}{5 r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

解题步骤 5.3.7

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.7.1

约去公因数。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{5}{5 r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

解题步骤 5.3.7.2

重写表达式。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

解题步骤 5.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r} \cdot 1}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

解题步骤 5.3.9

将 $\frac{1}{r}$ 乘以 $1$ 。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

解题步骤 5.3.10

将 $\frac{1}{r}$ 重写为 $r^{- 1}$ 。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{\frac{d}{d r} [r^{- 1}]}$

解题步骤 5.3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{- r^{- 2}}$

解题步骤 5.3.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{- \frac{1}{r^{2}}}$

解题步骤 5.4

将分子乘以分母的倒数。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r} \cdot - 1 r^{2}$

解题步骤 5.5

组合 $\frac{1}{r}$ 和 $r^{2}$ 。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r^{2}}{r}$

解题步骤 5.6

约去 $r^{2}$ 和 $r$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.1

从 $r^{2}$ 中分解出因数 $r$ 。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r}$

解题步骤 5.6.2

约去公因数。

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解题步骤 5.6.2.1

对 $r$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r^{1}}$

解题步骤 5.6.2.2

从 $r^{1}$ 中分解出因数 $r$ 。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r \cdot 1}$

解题步骤 5.6.2.3

约去公因数。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r \cdot 1}$

解题步骤 5.6.2.4

重写表达式。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r}{1}$

解题步骤 5.6.2.5

用 $r$ 除以 $1$ 。

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - r$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

计算极限值。

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解题步骤 6.1.1

因为项 $- 1$ 对于 $r$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 11 (\frac{1}{3}) \cdot - 1 lim_{r \to 0^{+}} r$

解题步骤 6.1.2

将 $0$ 代入 $r$ 来计算 $r$ 的极限值。

$- 11 (\frac{1}{3}) \cdot 0$

解题步骤 6.2

化简答案。

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解题步骤 6.2.1

组合 $- 11$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{- 11}{3} \cdot 0$

解题步骤 6.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{11}{3} \cdot 0$

解题步骤 6.2.3

乘以 $- \frac{11}{3} \cdot 0$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$0 (\frac{11}{3})$

解题步骤 6.2.3.2

将 $0$ 乘以 $\frac{11}{3}$ 。

$0$

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