微积分学示例

$y = x + \frac{1}{x}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x + \frac{1}{x})$

解题步骤 2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x + \frac{1}{x}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$ 。

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$x' + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = 1$ 且 $g (y) = x$ 。

$x' + \frac{x \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.2

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$x' + \frac{x \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.3

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$x' + \frac{x \cdot 0 - 1 \cdot 1 x'}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.4

将 $x$ 乘以 $0$ 。

$x' + \frac{0 - 1 \cdot 1 x'}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x' + \frac{0 - x'}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.6

从 $0$ 中减去 $x'$ 。

$x' + \frac{- x'}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.7

将负号移到分数的前面。

$x' - \frac{x'}{x^{2}}$

解题步骤 3.4

重新排序项。

$- \frac{x'}{x^{2}} + x'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$1 = - \frac{x'}{x^{2}} + x'$

解题步骤 5

求解 $x'$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$ 。

$- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$

解题步骤 5.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 5.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x^{2}, 1, 1$

解题步骤 5.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{2}$

解题步骤 5.3

将 $- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 5.3.1

将 $- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 。

$- \frac{x'}{x^{2}} x^{2} + x' x^{2} = 1 x^{2}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

将 $- \frac{x'}{x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- x'}{x^{2}} x^{2} + x' x^{2} = 1 x^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- x'}{x^{2}} x^{2} + x' x^{2} = 1 x^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.3

重写表达式。

$- x' + x' x^{2} = 1 x^{2}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- x' + x' x^{2} = x^{2}$

解题步骤 5.4

求解方程。

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解题步骤 5.4.1

从 $- x' + x' x^{2}$ 中分解出因数 $x'$ 。

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解题步骤 5.4.1.1

从 $- x'$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' \cdot - 1 + x' x^{2} = x^{2}$

解题步骤 5.4.1.2

从 $x' x^{2}$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' \cdot - 1 + x' (x^{2}) = x^{2}$

解题步骤 5.4.1.3

从 $x' \cdot - 1 + x' (x^{2})$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' (- 1 + x^{2}) = x^{2}$

解题步骤 5.4.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x' (- 1^{2} + x^{2}) = x^{2}$

解题步骤 5.4.3

将 $- 1^{2}$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$x' (x^{2} - 1^{2}) = x^{2}$

解题步骤 5.4.4

因数。

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解题步骤 5.4.4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$x' ((x + 1) (x - 1)) = x^{2}$

解题步骤 5.4.4.2

去掉多余的括号。

$x' (x + 1) (x - 1) = x^{2}$

解题步骤 5.4.5

将 $x' (x + 1) (x - 1) = x^{2}$ 中的每一项除以 $(x + 1) (x - 1)$ 并化简。

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解题步骤 5.4.5.1

将 $x' (x + 1) (x - 1) = x^{2}$ 中的每一项都除以 $(x + 1) (x - 1)$ 。

$\frac{x' (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 5.4.5.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.5.2.1

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x' (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 5.4.5.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x' (x - 1)}{x - 1} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 5.4.5.2.2

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x' (x - 1)}{x - 1} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 5.4.5.2.2.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

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