微积分学示例

$\int \tan^{3} (x) d x$

解题步骤 1

因式分解出 $\tan^{2} (x)$ 。

$\int \tan^{2} (x) \tan (x) d x$

解题步骤 2

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (x)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (x)$ 的形式。

$\int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

解题步骤 3

运用分配律。

$\int - 1 \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 1 \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

解题步骤 6

$\tan (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sec (x) |)$ 。

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

解题步骤 7

使 $u = \sec (x)$ 。然后使 $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u = \sec (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $\sec (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 7.1.2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\sec (x) \tan (x)$

解题步骤 7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int u d u$

解题步骤 8

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

解题步骤 9

化简。

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

解题步骤 10

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (x) + C$

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