微积分学示例

$x^{2} \cdot e^{x^{3}}$

解题步骤 1

将 $x^{2} \cdot e^{x^{3}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{2} \cdot e^{x^{3}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x^{2} \cdot e^{x^{3}} d x$

解题步骤 4

使 $u_{2} = e^{x^{3}}$ 。然后使 $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{2} = e^{x^{3}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $e^{x^{3}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

解题步骤 4.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{3}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.1.2.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

解题步骤 4.1.4

化简。

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解题步骤 4.1.4.1

重新排序 $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ 的因式。

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

解题步骤 4.1.4.2

将 $3 e^{x^{3}} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

解题步骤 4.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{3} d u_{2}$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} u_{2} + C$

解题步骤 6

使用 $e^{x^{3}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

解题步骤 7

答案是函数 $f (x) = x^{2} \cdot e^{x^{3}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

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