微积分学示例

$t (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45$ , $x - 5$

解题步骤 1

思考一下可用于求在 $a$ 处线性化的函数。

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

解题步骤 2

将 $a = x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45$ 的值代入线性函数中。

$L (x) = f (x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45) + f' (x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45) (x - x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45)$

解题步骤 3

计算 $f (x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45)$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45$ 替换变量 $x$ 。

$f (x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45) = (x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45) - 5$

解题步骤 3.2

化简 $(x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45) - 5$ 。

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解题步骤 3.2.1

去掉圆括号。

$(x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45) - 5$

解题步骤 3.2.2

从 $45$ 中减去 $5$ 。

$x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 40$

解题步骤 4

求 $f (x) = x - 5$ 的导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 4.3

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 4.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 5

将分量代入线性方程中以求在 $a$ 处的线性化。

$L (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 40 + 1 (x - x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

将 $x - x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45$ 乘以 $1$ 。

$L (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 40 + x - x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45$

解题步骤 6.1.2

从 $x$ 中减去 $9 x$ 。

$L (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 40 - x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 45$

解题步骤 6.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 6.2.1

合并 $x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 40 - x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 45$ 中相反的项。

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解题步骤 6.2.1.1

从 $x^{3}$ 中减去 $x^{3}$ 。

$L (x) = - 5 x^{2} - 9 x + 40 + 0 - 5 x^{2} - 8 x + 45$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 5 x^{2} - 9 x + 40$ 和 $0$ 相加。

$L (x) = - 5 x^{2} - 9 x + 40 - 5 x^{2} - 8 x + 45$

解题步骤 6.2.2

从 $- 5 x^{2}$ 中减去 $5 x^{2}$ 。

$L (x) = - 10 x^{2} - 9 x + 40 - 8 x + 45$

解题步骤 6.2.3

从 $- 9 x$ 中减去 $8 x$ 。

$L (x) = - 10 x^{2} - 17 x + 40 + 45$

解题步骤 6.2.4

将 $40$ 和 $45$ 相加。

$L (x) = - 10 x^{2} - 17 x + 85$

解题步骤 7

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