微积分学示例

$lim_{x \to 3} \frac{{(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}}{x - 3}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 3} {(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 3} {(x - 2)}^{2} - lim_{x \to 3} {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.1.2.2

使用极限幂法则把 ${(x - 2)}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 2)}^{2} - lim_{x \to 3} {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.1.2.3

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 2)}^{2} - lim_{x \to 3} {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.1.2.4

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}^{2} - lim_{x \to 3} {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.1.2.5

使用极限幂法则把 ${(x - 4)}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}^{2} - {(lim_{x \to 3} x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.1.2.6

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}^{2} - {(lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.1.2.7

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}^{2} - {(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.1.2.8

将 $3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.8.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(3 - 1 \cdot 2)}^{2} - {(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.1.2.8.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(3 - 1 \cdot 2)}^{2} - {(3 - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.1.2.9

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.9.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.9.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(3 - 2)}^{2} - {(3 - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.1.2.9.1.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1^{2} - {(3 - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.1.2.9.1.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{1 - {(3 - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.1.2.9.1.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1 - {(3 - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.1.2.9.1.5

从 $3$ 中减去 $4$ 。

$\frac{1 - {(- 1)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.1.2.9.1.6

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.2.9.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.2.9.1.6.1.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.1.2.9.1.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 + {(- 1)}^{1 + 2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.1.2.9.1.6.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1 + {(- 1)}^{3}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.1.2.9.1.7

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.1.2.9.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{0}{3 - 3}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 3} \frac{{(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.2

将 ${(x - 2)}^{2}$ 重写为 $(x - 2) (x - 2)$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x - 2) - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.3

使用 FOIL 方法展开 $(x - 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

运用分配律。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x (x - 2) - 2 (x - 2) - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.3.2

运用分配律。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.3.3

运用分配律。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.4.1.2

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.4.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.4.2

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.5

将 ${(x - 4)}^{2}$ 重写为 $(x - 4) (x - 4)$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - ((x - 4) (x - 4))]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.6

使用 FOIL 方法展开 $(x - 4) (x - 4)$ 。

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解题步骤 1.3.6.1

运用分配律。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x (x - 4) - 4 (x - 4))]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.6.2

运用分配律。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4))]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.6.3

运用分配律。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.7.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.7.1.2

将 $- 4$ 移到 $x$ 的左侧。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.7.1.3

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 4 x - 4 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.7.2

从 $- 4 x$ 中减去 $4 x$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.8

根据加法法则， $x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 8 x + 16)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.10

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

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解题步骤 1.3.10.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.10.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.10.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.11

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.12

计算 $\frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]$ 。

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解题步骤 1.3.12.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (x^{2} - 8 x + 16)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.12.2

根据加法法则， $x^{2} - 8 x + 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.12.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.12.4

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.12.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.12.6

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8 \cdot 1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.12.7

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.12.8

将 $2 x - 8$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.13

化简。

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解题步骤 1.3.13.1

运用分配律。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x) - - 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.13.2

合并项。

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解题步骤 1.3.13.2.1

将 $2 x - 4$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 - (2 x) - - 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.13.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 - 2 x - - 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.13.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 - 2 x + 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.13.2.4

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{0 - 4 + 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.13.2.5

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{- 4 + 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.13.2.6

将 $- 4$ 和 $8$ 相加。

$lim_{x \to 3} \frac{4}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

解题步骤 1.3.14

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{4}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 1.3.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{4}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 1.3.16

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{4}{1 + 0}$

解题步骤 1.3.17

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 3} \frac{4}{1}$

解题步骤 1.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 3} 4$

解题步骤 2

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$4$

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