微积分学示例

$lim_{x \to 0} {(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 ${(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}}$ 重写为 $e^{\ln ({(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}})}$ 。

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}})}$

解题步骤 1.2

通过将 $\frac{1}{x}$ 移到对数外来展开 $\ln ({(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}})$ 。

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (1 + \arctan (x))}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (1 + \arctan (x))}$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\ln (1 + \arctan (x))$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \arctan (x))}{x}}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

将极限移入对数中。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $\arctan (x)$ 的极限值。

$e^{\frac{\ln (1 + \arctan (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.4.2

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.5

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.5.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{0}{0}}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{0}{0}}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \arctan (x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \arctan (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \arctan (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 1 + \arctan (x)$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 + \arctan (x)$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + \arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + \arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $1 + \arctan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} \frac{d}{d x} [1 + \arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.3

根据加法法则， $1 + \arctan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} (0 + \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ 相加。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.6

$\arctan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.7

将 $\frac{1}{1 + \arctan (x)}$ 乘以 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}{1}}$

解题步骤 3.4

将分子乘以分母的倒数。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})} \cdot 1}$

解题步骤 3.5

将 $\frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$e^{\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}$

解题步骤 4.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 0} (1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}$

解题步骤 4.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 0} 1 + \arctan (x) \cdot lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

解题步骤 4.4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{(lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

解题步骤 4.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

解题步骤 4.6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x^{2})}}$

解题步骤 4.7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot (1 + lim_{x \to 0} x^{2})}}$

解题步骤 4.8

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot (1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}}$

解题步骤 5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $\arctan (x)$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{(1 + \arctan (0)) \cdot (1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}}$

解题步骤 5.2

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$e^{\frac{1}{(1 + 0) \cdot (1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}}$

解题步骤 5.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{1}{(1 + 0) \cdot (1 + 0^{2})}}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简分母。

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解题步骤 6.1.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{\frac{1}{1 (1 + 0^{2})}}$

解题步骤 6.1.2

将 $1 + 0^{2}$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{1}{1 + 0^{2}}}$

解题步骤 6.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$e^{\frac{1}{1 + 0}}$

解题步骤 6.1.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{\frac{1}{1}}$

解题步骤 6.2

用 $1$ 除以 $1$ 。

$e^{1}$

解题步骤 6.3

化简。

$e$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$e$

小数形式：

$2.71828182 \dots$

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