微积分学示例

$a^{3} y = x^{2} (2 a^{2} - x^{2})$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (a^{3} y) = \frac{d}{d x} (x^{2} (2 a^{2} - x^{2}))$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

因为 $a^{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a^{3} y$ 对 $x$ 的导数是 $a^{3} \frac{d}{d x} [y]$ 。

$a^{3} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$a^{3} y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 2 a^{2} - x^{2}$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [2 a^{2} - x^{2}] + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $2 a^{2} - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d x} [2 a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2.2

因为 $2 a^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 a^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$x^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} (- (2 x)) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} (- 2 x) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

移动 $x$ 。

$x \cdot x^{2} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{1} x^{2} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{1 + 2} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x^{3} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.4

将 $- 2$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$- 2 \cdot x^{3} + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 2 x^{3} + (2 a^{2} - x^{2}) (2 x)$

解题步骤 3.6

将 $2$ 移到 $2 a^{2} - x^{2}$ 的左侧。

$- 2 x^{3} + 2 \cdot (2 a^{2} - x^{2}) x$

解题步骤 3.7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.1

运用分配律。

$- 2 x^{3} + (2 (2 a^{2}) + 2 (- x^{2})) x$

解题步骤 3.7.2

运用分配律。

$- 2 x^{3} + 2 (2 a^{2}) x + 2 (- x^{2}) x$

解题步骤 3.7.3

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x + 2 (- x^{2}) x$

解题步骤 3.7.3.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 x^{2} x$

解题步骤 3.7.3.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 (x^{1} x^{2})$

解题步骤 3.7.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 x^{1 + 2}$

解题步骤 3.7.3.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 x^{3}$

解题步骤 3.7.3.6

从 $- 2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$- 4 x^{3} + 4 a^{2} x$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$a^{3} y' = - 4 x^{3} + 4 a^{2} x$

解题步骤 5

将 $a^{3} y' = - 4 x^{3} + 4 a^{2} x$ 中的每一项除以 $a^{3}$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将 $a^{3} y' = - 4 x^{3} + 4 a^{2} x$ 中的每一项都除以 $a^{3}$ 。

$\frac{a^{3} y'}{a^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

解题步骤 5.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

约去 $a^{3}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{a^{3} y'}{a^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

解题步骤 5.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

解题步骤 5.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

解题步骤 5.3.1.2

约去 $a^{2}$ 和 $a^{3}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1.2.1

从 $4 a^{2} x$ 中分解出因数 $a^{2}$ 。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{2} (4 x)}{a^{3}}$

解题步骤 5.3.1.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1.2.2.1

从 $a^{3}$ 中分解出因数 $a^{2}$ 。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{2} (4 x)}{a^{2} a}$

解题步骤 5.3.1.2.2.2

约去公因数。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{2} (4 x)}{a^{2} a}$

解题步骤 5.3.1.2.2.3

重写表达式。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 x}{a}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 x}{a}$

微积分学 示例

微积分学示例