微积分学示例

$\frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt[3]{x}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt[3]{x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt[3]{x}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 5.2

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 5.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 5.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 5.3.3

将负号移到分数的前面。

$\int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 7

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int x^{\frac{1}{3}} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 。

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 9

化简。

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt[3]{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

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