微积分学示例

$y = \frac{e^{x}}{x}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

重新排序项。

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

解题步骤 1.4.2

从 $e^{x} x - e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

从 $e^{x} x$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

解题步骤 1.4.2.2

从 $- e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

解题步骤 1.4.2.3

从 $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{x} (x - 1)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.4.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.4.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.4.4.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.5

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.6.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 2.6.2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.6.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

解题步骤 2.6.2.2

从 $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.6.2.2.1

从 $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x})$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

解题步骤 2.6.2.2.2

从 $- 2 e^{x} (x - 1) x$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

解题步骤 2.6.2.2.3

从 $x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

解题步骤 2.7

约去公因数。

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解题步骤 2.7.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 2.7.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 2.7.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

解题步骤 2.8

化简。

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解题步骤 2.8.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + x e^{x} - 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

解题步骤 2.8.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

解题步骤 2.8.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

解题步骤 2.8.4

化简分子。

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解题步骤 2.8.4.1

合并 $x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 2.8.4.1.1

按照 $x e^{x}$ 和 $x (- 1 e^{x})$ 重新排列因数。

$f'' (x) = \frac{e^{x} x + x (x e^{x}) - e^{x} x - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

解题步骤 2.8.4.1.2

从 $e^{x} x$ 中减去 $e^{x} x$ 。

$f'' (x) = \frac{x (x e^{x}) + 0 - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

解题步骤 2.8.4.1.3

将 $x (x e^{x})$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{x (x e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

解题步骤 2.8.4.2

化简每一项。

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解题步骤 2.8.4.2.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.8.4.2.1.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{x \cdot x e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

解题步骤 2.8.4.2.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

解题步骤 2.8.4.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

解题步骤 2.8.4.3

将 $x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

解题步骤 2.8.5

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

解题步骤 2.8.6

将 $\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.4

化简。

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解题步骤 4.1.4.1

重新排序项。

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.4.2

从 $e^{x} x - e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 4.1.4.2.1

从 $e^{x} x$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.4.2.2

从 $- e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.4.2.3

从 $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ 。

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$e^{x} (x - 1) = 0$

解题步骤 5.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 5.3.2

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

解题步骤 5.3.2.2

求解 $x$ 的 $e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 5.3.2.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

解题步骤 5.3.2.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 5.3.2.2.3

$e^{x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 5.3.3

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 5.3.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 5.3.4

最终解为使 $e^{x} (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 6.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 6.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 6.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 1$

解题步骤 8

计算在 $x = 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{{(1)}^{2} e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{{(1)}^{3}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1 e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

解题步骤 9.1.2

将 $e^{1}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

解题步骤 9.1.3

化简。

$\frac{e - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

解题步骤 9.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e - 2 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

解题步骤 9.1.5

化简。

$\frac{e - 2 e + 2 e^{1}}{1^{3}}$

解题步骤 9.1.6

化简。

$\frac{e - 2 e + 2 e}{1^{3}}$

解题步骤 9.1.7

从 $e$ 中减去 $2 e$ 。

$\frac{- e + 2 e}{1^{3}}$

解题步骤 9.1.8

将 $- e$ 和 $2 e$ 相加。

$\frac{e}{1^{3}}$

解题步骤 9.2

化简表达式。

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解题步骤 9.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{e}{1}$

解题步骤 9.2.2

用 $e$ 除以 $1$ 。

$e$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 1$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \frac{e^{1}}{1}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

用 $e^{1}$ 除以 $1$ 。

$f (1) = e$

解题步骤 11.2.2

最终答案为 $e$ 。

$y = e$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ 的局部极值。

$(1, e)$ 是一个局部最小值

解题步骤 13

微积分学 示例

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