微积分学示例

\frac{1}{10} x^{5} + 2 x^{4} + 9 x^{3}

$\frac{1}{10} x^{5} + 2 x^{4} + 9 x^{3}$

解题步骤 1

将

$\frac{1}{10} x^{5} + 2 x^{4} + 9 x^{3}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} + 2 x^{4} + 9 x^{3}$

解题步骤 2

Find the

$x$ values where the second derivative is equal to

$0$ .

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解题步骤 2.1

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则，

$\frac{1}{10} x^{5} + 2 x^{4} + 9 x^{3}$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{3}]$

解题步骤 2.1.1.2

计算

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.2.1

因为

$\frac{1}{10}$ 对于

$x$ 是常数，所以

$\frac{1}{10} x^{5}$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{3}]$

解题步骤 2.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 5$ 。

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{3}]$

解题步骤 2.1.1.2.3

组合

$5$ 和

$\frac{1}{10}$ 。

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{3}]$

解题步骤 2.1.1.2.4

组合

$\frac{5}{10}$ 和

$x^{4}$ 。

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{3}]$

解题步骤 2.1.1.2.5

约去

$5$ 和

$10$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.2.5.1

从

$5 x^{4}$ 中分解出因数

$5$ 。

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{3}]$

解题步骤 2.1.1.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.1.2.5.2.1

从

$10$ 中分解出因数

$5$ 。

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{3}]$

解题步骤 2.1.1.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{3}]$

解题步骤 2.1.1.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{3}]$

解题步骤 2.1.1.3

计算

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.3.1

因为

$2$ 对于

$x$ 是常数，所以

$2 x^{4}$ 对

$x$ 的导数是

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{x^{4}}{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{3}]$

解题步骤 2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 4$ 。

$\frac{x^{4}}{2} + 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [9 x^{3}]$

解题步骤 2.1.1.3.3

将

$4$ 乘以

$2$ 。

$\frac{x^{4}}{2} + 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [9 x^{3}]$

解题步骤 2.1.1.4

计算

$\frac{d}{d x} [9 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.4.1

因为

$9$ 对于

$x$ 是常数，所以

$9 x^{3}$ 对

$x$ 的导数是

$9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{x^{4}}{2} + 8 x^{3} + 9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 3$ 。

$\frac{x^{4}}{2} + 8 x^{3} + 9 (3 x^{2})$

解题步骤 2.1.1.4.3

将

$3$ 乘以

$9$ 。

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} + 8 x^{3} + 27 x^{2}$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则，

$\frac{x^{4}}{2} + 8 x^{3} + 27 x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.2

计算

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

因为

$\frac{1}{2}$ 对于

$x$ 是常数，所以

$\frac{x^{4}}{2}$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 4$ 。

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.2.3

组合

$4$ 和

$\frac{1}{2}$ 。

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.2.4

组合

$\frac{4}{2}$ 和

$x^{3}$ 。

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.2.5

约去

$4$ 和

$2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.5.1

从

$4 x^{3}$ 中分解出因数

$2$ 。

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.5.2.1

从

$2$ 中分解出因数

$2$ 。

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.2.5.2.4

用

$2 x^{3}$ 除以

$1$ 。

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.3

计算

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.3.1

因为

$8$ 对于

$x$ 是常数，所以

$8 x^{3}$ 对

$x$ 的导数是

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$2 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 3$ 。

$2 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [27 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.3.3

将

$3$ 乘以

$8$ 。

$2 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [27 x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.4

计算

$\frac{d}{d x} [27 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.4.1

因为

$27$ 对于

$x$ 是常数，所以

$27 x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 x^{3} + 24 x^{2} + 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$2 x^{3} + 24 x^{2} + 27 (2 x)$

解题步骤 2.1.2.4.3

将

$2$ 乘以

$27$ 。

$f'' (x) = 2 x^{3} + 24 x^{2} + 54 x$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对

$x$ 的二阶导数是

$2 x^{3} + 24 x^{2} + 54 x$ 。

$2 x^{3} + 24 x^{2} + 54 x$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于

$0$ ，然后求解方程

$2 x^{3} + 24 x^{2} + 54 x = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于

$0$ 。

$2 x^{3} + 24 x^{2} + 54 x = 0$

解题步骤 2.2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.2.1

从

$2 x^{3} + 24 x^{2} + 54 x$ 中分解出因数

$2 x$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

从

$2 x^{3}$ 中分解出因数

$2 x$ 。

$2 x (x^{2}) + 24 x^{2} + 54 x = 0$

解题步骤 2.2.2.1.2

从

$24 x^{2}$ 中分解出因数

$2 x$ 。

$2 x (x^{2}) + 2 x (12 x) + 54 x = 0$

解题步骤 2.2.2.1.3

从

$54 x$ 中分解出因数

$2 x$ 。

$2 x (x^{2}) + 2 x (12 x) + 2 x (27) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.4

从

$2 x (x^{2}) + 2 x (12 x)$ 中分解出因数

$2 x$ 。

$2 x (x^{2} + 12 x) + 2 x (27) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.5

从

$2 x (x^{2} + 12 x) + 2 x (27)$ 中分解出因数

$2 x$ 。

$2 x (x^{2} + 12 x + 27) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1

使用 AC 法来对

$x^{2} + 12 x + 27$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.2.2.2.1.1

思考一下

$x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为

$c$ ，且和为

$b$ 。在本例中，其积即为

$27$ ，和为

$12$ 。

$3, 9$

解题步骤 2.2.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$2 x ((x + 3) (x + 9)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2.2

去掉多余的括号。

$2 x (x + 3) (x + 9) = 0$

解题步骤 2.2.3

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x + 9 = 0$

解题步骤 2.2.4

将

$x$ 设为等于

$0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.2.5

将

$x + 3$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 2.2.5.1

将

$x + 3$ 设为等于

$0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 2.2.5.2

从等式两边同时减去

$3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 2.2.6

将

$x + 9$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 2.2.6.1

将

$x + 9$ 设为等于

$0$ 。

$x + 9 = 0$

解题步骤 2.2.6.2

从等式两边同时减去

$9$ 。

$x = - 9$

解题步骤 2.2.7

最终解为使

$2 x (x + 3) (x + 9) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 3, - 9$

解题步骤 3

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

在二阶导数为零或无意义的

$x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 5

将区间

$(- \infty, - 9)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的

$- 12$ 替换变量

$x$ 。

$f'' (- 12) = 2 {(- 12)}^{3} + 24 {(- 12)}^{2} + 54 (- 12)$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对

$- 12$ 进行

$3$ 次方运算。

$f'' (- 12) = 2 \cdot - 1728 + 24 {(- 12)}^{2} + 54 (- 12)$

解题步骤 5.2.1.2

将

$2$ 乘以

$- 1728$ 。

$f'' (- 12) = - 3456 + 24 {(- 12)}^{2} + 54 (- 12)$

解题步骤 5.2.1.3

对

$- 12$ 进行

$2$ 次方运算。

$f'' (- 12) = - 3456 + 24 \cdot 144 + 54 (- 12)$

解题步骤 5.2.1.4

将

$24$ 乘以

$144$ 。

$f'' (- 12) = - 3456 + 3456 + 54 (- 12)$

解题步骤 5.2.1.5

将

$54$ 乘以

$- 12$ 。

$f'' (- 12) = - 3456 + 3456 - 648$

解题步骤 5.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将

$- 3456$ 和

$3456$ 相加。

$f'' (- 12) = 0 - 648$

解题步骤 5.2.2.2

从

$0$ 中减去

$648$ 。

$f'' (- 12) = - 648$

解题步骤 5.2.3

最终答案为

$- 648$ 。

$- 648$

解题步骤 5.3

图像在区间

$(- \infty, - 9)$ 上向下凹，因为

$f'' (- 12)$ 为负数。

由于

$f'' (x)$ 为负，在

$(- \infty, - 9)$ 上为向下凹

由于

$f'' (x)$ 为负，在

$(- \infty, - 9)$ 上为向下凹

解题步骤 6

将区间

$(- 9, - 3)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的

$- 6$ 替换变量

$x$ 。

$f'' (- 6) = 2 {(- 6)}^{3} + 24 {(- 6)}^{2} + 54 (- 6)$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对

$- 6$ 进行

$3$ 次方运算。

$f'' (- 6) = 2 \cdot - 216 + 24 {(- 6)}^{2} + 54 (- 6)$

解题步骤 6.2.1.2

将

$2$ 乘以

$- 216$ 。

$f'' (- 6) = - 432 + 24 {(- 6)}^{2} + 54 (- 6)$

解题步骤 6.2.1.3

对

$- 6$ 进行

$2$ 次方运算。

$f'' (- 6) = - 432 + 24 \cdot 36 + 54 (- 6)$

解题步骤 6.2.1.4

将

$24$ 乘以

$36$ 。

$f'' (- 6) = - 432 + 864 + 54 (- 6)$

解题步骤 6.2.1.5

将

$54$ 乘以

$- 6$ 。

$f'' (- 6) = - 432 + 864 - 324$

解题步骤 6.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将

$- 432$ 和

$864$ 相加。

$f'' (- 6) = 432 - 324$

解题步骤 6.2.2.2

从

$432$ 中减去

$324$ 。

$f'' (- 6) = 108$

解题步骤 6.2.3

最终答案为

$108$ 。

$108$

解题步骤 6.3

图像在区间

$(- 9, - 3)$ 上向上凹，因为

$f'' (- 6)$ 为正数。

由于

$f'' (x)$ 为正，在

$(- 9, - 3)$ 上为向上凹

由于

$f'' (x)$ 为正，在

$(- 9, - 3)$ 上为向上凹

解题步骤 7

将区间

$(- 3, 0)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的

$- 2$ 替换变量

$x$ 。

$f'' (- 2) = 2 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 54 (- 2)$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对

$- 2$ 进行

$3$ 次方运算。

$f'' (- 2) = 2 \cdot - 8 + 24 {(- 2)}^{2} + 54 (- 2)$

解题步骤 7.2.1.2

将

$2$ 乘以

$- 8$ 。

$f'' (- 2) = - 16 + 24 {(- 2)}^{2} + 54 (- 2)$

解题步骤 7.2.1.3

对

$- 2$ 进行

$2$ 次方运算。

$f'' (- 2) = - 16 + 24 \cdot 4 + 54 (- 2)$

解题步骤 7.2.1.4

将

$24$ 乘以

$4$ 。

$f'' (- 2) = - 16 + 96 + 54 (- 2)$

解题步骤 7.2.1.5

将

$54$ 乘以

$- 2$ 。

$f'' (- 2) = - 16 + 96 - 108$

解题步骤 7.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将

$- 16$ 和

$96$ 相加。

$f'' (- 2) = 80 - 108$

解题步骤 7.2.2.2

从

$80$ 中减去

$108$ 。

$f'' (- 2) = - 28$

解题步骤 7.2.3

最终答案为

$- 28$ 。

$- 28$

解题步骤 7.3

图像在区间

$(- 3, 0)$ 上向下凹，因为

$f'' (- 2)$ 为负数。

由于

$f'' (x)$ 为负，在

$(- 3, 0)$ 上为向下凹

由于

$f'' (x)$ 为负，在

$(- 3, 0)$ 上为向下凹

解题步骤 8

将区间

$(0, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的

$2$ 替换变量

$x$ 。

$f'' (2) = 2 {(2)}^{3} + 24 {(2)}^{2} + 54 (2)$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

通过指数相加将

$2$ 乘以

${(2)}^{3}$ 。

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解题步骤 8.2.1.1.1

将

$2$ 乘以

${(2)}^{3}$ 。

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解题步骤 8.2.1.1.1.1

对

$2$ 进行

$1$ 次方运算。

$f'' (2) = 2 {(2)}^{3} + 24 {(2)}^{2} + 54 (2)$

解题步骤 8.2.1.1.1.2

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (2) = 2^{1 + 3} + 24 {(2)}^{2} + 54 (2)$

解题步骤 8.2.1.1.2

将

$1$ 和

$3$ 相加。

$f'' (2) = 2^{4} + 24 {(2)}^{2} + 54 (2)$

解题步骤 8.2.1.2

对

$2$ 进行

$4$ 次方运算。

$f'' (2) = 16 + 24 {(2)}^{2} + 54 (2)$

解题步骤 8.2.1.3

对

$2$ 进行

$2$ 次方运算。

$f'' (2) = 16 + 24 \cdot 4 + 54 (2)$

解题步骤 8.2.1.4

将

$24$ 乘以

$4$ 。

$f'' (2) = 16 + 96 + 54 (2)$

解题步骤 8.2.1.5

将

$54$ 乘以

$2$ 。

$f'' (2) = 16 + 96 + 108$

解题步骤 8.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 8.2.2.1

将

$16$ 和

$96$ 相加。

$f'' (2) = 112 + 108$

解题步骤 8.2.2.2

将

$112$ 和

$108$ 相加。

$f'' (2) = 220$

解题步骤 8.2.3

最终答案为

$220$ 。

$220$

解题步骤 8.3

图像在区间

$(0, \infty)$ 上向上凹，因为

$f'' (2)$ 为正数。

由于

$f'' (x)$ 为正，在

$(0, \infty)$ 上为向上凹

由于

$f'' (x)$ 为正，在

$(0, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 9

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于

$f'' (x)$ 为负，在

$(- \infty, - 9)$ 上为向下凹

由于

$f'' (x)$ 为正，在

$(- 9, - 3)$ 上为向上凹

由于

$f'' (x)$ 为负，在

$(- 3, 0)$ 上为向下凹

由于

$f'' (x)$ 为正，在

$(0, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例