微积分学示例

\frac{sin (x^{2})}{3 x}

$\frac{\sin (x^{2})}{3 x}$

解题步骤 1

因为

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

\frac{sin (x^{2})}{3 x}

$\frac{\sin (x^{2})}{3 x}$ 对

x

$x$ 的导数是

\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{sin (x^{2})}{x}]

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x^{2})}{x}]$ 。

\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{sin (x^{2})}{x}]

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x^{2})}{x}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中

f (x) = sin (x^{2})

$f (x) = \sin (x^{2})$ 且

g (x) = x

$g (x) = x$ 。

\frac{1}{3} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [sin (x^{2})] - sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于

$f' (g (x)) g' (x)$ ，其中

$f (x) = \sin (x)$ 且

$g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将

$u$ 设为

$x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.2

$\sin (u)$ 对

$u$ 的导数为

$\cos (u)$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.3

使用

$x^{2}$ 替换所有出现的

$u$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (\cos (x^{2}) (2 x)) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5

对

$x$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{1} x (\cos (x^{2}) \cdot (2)) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 6

对

$x$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{1} x^{1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 7

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{1 + 1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 8

化简表达式。

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解题步骤 8.1

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 8.2

将

$2$ 移到

$\cos (x^{2})$ 的左侧。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (2 \cdot \cos (x^{2})) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (2 \cos (x^{2})) - \sin (x^{2}) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 10

合并分数。

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解题步骤 10.1

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (2 \cos (x^{2})) - \sin (x^{2})}{x^{2}}$

解题步骤 10.2

将

$\frac{1}{3}$ 乘以

$\frac{x^{2} (2 \cos (x^{2})) - \sin (x^{2})}{x^{2}}$ 。

$\frac{x^{2} (2 \cos (x^{2})) - \sin (x^{2})}{3 x^{2}}$

解题步骤 10.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x^{2} \cos (x^{2}) - \sin (x^{2})}{3 x^{2}}$

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