微积分学示例

$\frac{\sin (x^{2})}{3 x}$

解题步骤 1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{\sin (x^{2})}{3 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x^{2})}{x}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x^{2})}{x}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \sin (x^{2})$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (\cos (x^{2}) (2 x)) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{1} x (\cos (x^{2}) \cdot (2)) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{1} x^{1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{1 + 1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 8

化简表达式。

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解题步骤 8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 8.2

将 $2$ 移到 $\cos (x^{2})$ 的左侧。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (2 \cdot \cos (x^{2})) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (2 \cos (x^{2})) - \sin (x^{2}) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 10

合并分数。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (2 \cos (x^{2})) - \sin (x^{2})}{x^{2}}$

解题步骤 10.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{x^{2} (2 \cos (x^{2})) - \sin (x^{2})}{x^{2}}$ 。

$\frac{x^{2} (2 \cos (x^{2})) - \sin (x^{2})}{3 x^{2}}$

解题步骤 10.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x^{2} \cos (x^{2}) - \sin (x^{2})}{3 x^{2}}$

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