微积分学示例

$x - \frac{1}{x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x - \frac{1}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

解题步骤 1.2.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

解题步骤 1.2.6

将 $x^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

解题步骤 1.2.7

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $0$ 。

$1 + x^{- 2} + 0$

解题步骤 1.2.8

将 $x^{- 2}$ 和 $0$ 相加。

$1 + x^{- 2}$

解题步骤 1.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$1 + \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.4

重新排序项。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 1$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\frac{1}{x^{2}} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.2.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.4

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.4.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.8

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$- 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 x^{- 3} + 0$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 2 \frac{1}{x^{3}} + 0$

解题步骤 2.4.2

合并项。

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解题步骤 2.4.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{- 2}{x^{3}} + 0$

解题步骤 2.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{x^{3}} + 0$

解题步骤 2.4.2.3

将 $- \frac{2}{x^{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

微积分学 示例

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