微积分学示例

y = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} x^{5} - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{5}{9} x

$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} x^{5} - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{5}{9} x$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则，

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} x^{5} - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{5}{9} x

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} x^{5} - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{5}{9} x$ 对

x

$x$ 的导数是

\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$ 。

\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

解题步骤 1.1.2

因为

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 对

x

$x$ 的导数为

0

$0$ 。

0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

解题步骤 1.2

计算

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为

$\frac{1}{3}$ 对于

$x$ 是常数，所以

$\frac{1}{3} x^{5}$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$0 + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 5$ 。

$0 + \frac{1}{3} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

解题步骤 1.2.3

组合

$5$ 和

$\frac{1}{3}$ 。

$0 + \frac{5}{3} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

解题步骤 1.2.4

组合

$\frac{5}{3}$ 和

$x^{4}$ 。

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

解题步骤 1.3

计算

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为

$- \frac{1}{3}$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- \frac{1}{3} x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{1}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

解题步骤 1.3.3

将

$2$ 乘以

$- 1$ 。

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - 2 (\frac{1}{3}) x + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

解题步骤 1.3.4

组合

$- 2$ 和

$\frac{1}{3}$ 。

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} + \frac{- 2}{3} x + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

解题步骤 1.3.5

组合

$\frac{- 2}{3}$ 和

$x$ 。

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} + \frac{- 2 x}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

解题步骤 1.3.6

将负号移到分数的前面。

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

解题步骤 1.4

计算

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为

$\frac{5}{9}$ 对于

$x$ 是常数，所以

$\frac{5}{9} x$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{5}{9} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9} \cdot 1$

解题步骤 1.4.3

将

$\frac{5}{9}$ 乘以

$1$ 。

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9}$

解题步骤 1.5

将

$0$ 和

$\frac{5 x^{4}}{3}$ 相加。

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则，

$\frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9}$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

解题步骤 2.2

计算

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为

$\frac{5}{3}$ 对于

$x$ 是常数，所以

$\frac{5 x^{4}}{3}$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 4$ 。

$\frac{5}{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

解题步骤 2.2.3

组合

$4$ 和

$\frac{5}{3}$ 。

$\frac{4 \cdot 5}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

解题步骤 2.2.4

将

$4$ 乘以

$5$ 。

$\frac{20}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

解题步骤 2.2.5

组合

$\frac{20}{3}$ 和

$x^{3}$ 。

$\frac{20 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

解题步骤 2.3

计算

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为

$- \frac{2}{3}$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- \frac{2 x}{3}$ 对

$x$ 的导数是

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

解题步骤 2.3.3

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为

$\frac{5}{9}$ 对于

$x$ 是常数，所以

$\frac{5}{9}$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3} + 0$

解题步骤 2.4.2

将

$\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3}$ 和

$0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则，

$\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3}$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

解题步骤 3.2

计算

$\frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为

$\frac{20}{3}$ 对于

$x$ 是常数，所以

$\frac{20 x^{3}}{3}$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 3$ 。

$\frac{20}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

解题步骤 3.2.3

组合

$3$ 和

$\frac{20}{3}$ 。

$\frac{3 \cdot 20}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

解题步骤 3.2.4

将

$3$ 乘以

$20$ 。

$\frac{60}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

解题步骤 3.2.5

组合

$\frac{60}{3}$ 和

$x^{2}$ 。

$\frac{60 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

解题步骤 3.2.6

约去

$60$ 和

$3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.6.1

从

$60 x^{2}$ 中分解出因数

$3$ 。

$\frac{3 (20 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

解题步骤 3.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.6.2.1

从

$3$ 中分解出因数

$3$ 。

$\frac{3 (20 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

解题步骤 3.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (20 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

解题步骤 3.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{20 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

解题步骤 3.2.6.2.4

用

$20 x^{2}$ 除以

$1$ 。

$20 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

解题步骤 3.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.3.1

因为

$- \frac{2}{3}$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- \frac{2}{3}$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$20 x^{2} + 0$

解题步骤 3.3.2

将

$20 x^{2}$ 和

$0$ 相加。

$f''' (x) = 20 x^{2}$

微积分学 示例

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