微积分学示例

$\frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1

将 $\frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

解题步骤 4

用部分分式分解写出分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

分解分数并乘以公分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{B}{2 x - 1}$

解题步骤 4.1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 ${(2 x - 1)}^{2}$ 。

$\frac{(4 x - 1) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

解题步骤 4.1.4

约去 ${(2 x - 1)}^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.4.1

约去公因数。

$\frac{(4 x - 1) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

解题步骤 4.1.4.2

用 $4 x - 1$ 除以 $1$ 。

$4 x - 1 = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

解题步骤 4.1.5

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.1

约去 ${(2 x - 1)}^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.1.1

约去公因数。

$4 x - 1 = \frac{A {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

解题步骤 4.1.5.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$4 x - 1 = A + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

解题步骤 4.1.5.2

约去 ${(2 x - 1)}^{2}$ 和 $2 x - 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.2.1

从 $(B) {(2 x - 1)}^{2}$ 中分解出因数 $2 x - 1$ 。

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{2 x - 1}$

解题步骤 4.1.5.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.2.2.1

乘以 $1$ 。

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{(2 x - 1) \cdot 1}$

解题步骤 4.1.5.2.2.2

约去公因数。

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{(2 x - 1) \cdot 1}$

解题步骤 4.1.5.2.2.3

重写表达式。

$4 x - 1 = A + \frac{B (2 x - 1)}{1}$

解题步骤 4.1.5.2.2.4

用 $B (2 x - 1)$ 除以 $1$ 。

$4 x - 1 = A + B (2 x - 1)$

解题步骤 4.1.5.3

运用分配律。

$4 x - 1 = A + B (2 x) + B \cdot - 1$

解题步骤 4.1.5.4

使用乘法的交换性质重写。

$4 x - 1 = A + 2 B x + B \cdot - 1$

解题步骤 4.1.5.5

将 $- 1$ 移到 $B$ 的左侧。

$4 x - 1 = A + 2 B x - 1 \cdot B$

解题步骤 4.1.5.6

将 $- 1 B$ 重写为 $- B$ 。

$4 x - 1 = A + 2 B x - B$

解题步骤 4.1.6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.6.1

移动 $B$ 。

$4 x - 1 = A + 2 x B - B$

解题步骤 4.1.6.2

将 $A$ 和 $2 x B$ 重新排序。

$4 x - 1 = 2 x B + A - B$

解题步骤 4.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$4 = 2 B$

解题步骤 4.2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 1 = A - 1 B$

解题步骤 4.2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$4 = 2 B$

$- 1 = A - 1 B$

$4 = 2 B$

$- 1 = A - 1 B$

解题步骤 4.3

求解方程组。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

在 $4 = 2 B$ 中求解 $B$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.1

将方程重写为 $2 B = 4$ 。

$2 B = 4$

$- 1 = A - 1 B$

解题步骤 4.3.1.2

将 $2 B = 4$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.2.1

将 $2 B = 4$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 B}{2} = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

解题步骤 4.3.1.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 B}{2} = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

解题步骤 4.3.1.2.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

解题步骤 4.3.1.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.2.3.1

用 $4$ 除以 $2$ 。

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

解题步骤 4.3.2

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1

使用 $2$ 替换 $- 1 = A - 1 B$ 中所有出现的 $B$ .

$- 1 = A - 1 \cdot 2$

$B = 2$

解题步骤 4.3.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

解题步骤 4.3.3

在 $- 1 = A - 2$ 中求解 $A$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.3.1

将方程重写为 $A - 2 = - 1$ 。

$A - 2 = - 1$

$B = 2$

解题步骤 4.3.3.2

将所有不包含 $A$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.3.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$A = - 1 + 2$

$B = 2$

解题步骤 4.3.3.2.2

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

解题步骤 4.3.4

求解方程组。

$A = 1 B = 2$

解题步骤 4.3.5

列出所有解。

$A = 1, B = 2$

解题步骤 4.4

将 $\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{B}{2 x - 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{2}{2 x - 1}$

解题步骤 4.5

去掉表达式中的零。

$\int \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{2}{2 x - 1} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} d x + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

解题步骤 6

使 $u_{1} = 2 x - 1$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

设 $u_{1} = 2 x - 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1

对 $2 x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 6.1.2

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 6.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 6.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 6.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 6.1.4

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 6.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 6.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

解题步骤 7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

解题步骤 7.2

将 $2$ 移到 ${u_{1}}^{2}$ 的左侧。

$\int \frac{1}{2 {u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

解题步骤 9

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

通过将 ${u_{1}}^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

解题步骤 9.2

将 ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

解题步骤 9.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

解题步骤 10

根据幂法则， ${u_{1}}^{- 2}$ 对 $u_{1}$ 的积分是 $- {u_{1}}^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

解题步骤 11

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

解题步骤 12

使 $u_{2} = 2 x - 1$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

设 $u_{2} = 2 x - 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1.1

对 $2 x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 12.1.2

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 12.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 12.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 12.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 12.1.4

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 12.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 12.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 13

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

将 $\frac{1}{u_{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

解题步骤 13.2

将 $2$ 移到 $u_{2}$ 的左侧。

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 14

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 15

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 15.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 15.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 15.3

将 $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 16

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 17

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.1

化简。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u_{1}}) + \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 17.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$- \frac{1}{2 u_{1}} + \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 18

代回替换每一个积分法替换变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.1

使用 $2 x - 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 18.2

使用 $2 x - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| 2 x - 1 |) + C$

解题步骤 19

答案是函数 $f (x) = \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| 2 x - 1 |) + C$

微积分学 示例

微积分学示例