微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2}}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 1.1.2

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{5}{x^{2}}}{1}$

解题步骤 1.2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 1.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 1.4

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 1.5

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 2

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 + 5 \cdot 0}{1}$

解题步骤 3.2

化简答案。

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解题步骤 3.2.1

用 $2 + 5 \cdot 0$ 除以 $1$ 。

$2 + 5 \cdot 0$

解题步骤 3.2.2

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

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