微积分学示例

$y^{2} + 3 x^{2} = y^{3} - x^{3}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y^{2} + 3 x^{2}) = \frac{d}{d x} (y^{3} - x^{3})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $y^{2} + 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 2.2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 y y' + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 y y' + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 y y' + 3 (2 x)$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$2 y y' + 6 x$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

根据加法法则， $y^{3} - x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 3.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 3.2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$3 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 y^{2} y' - (3 x^{2})$

解题步骤 3.3.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$3 y^{2} y' - 3 x^{2}$

解题步骤 3.4

重新排序项。

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 y y' + 6 x = - 3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $3 y^{2} y'$ 。

$2 y y' + 6 x - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $6 x$ 。

$2 y y' - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x$

解题步骤 5.3

从 $2 y y' - 3 y^{2} y'$ 中分解出因数 $y y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

从 $2 y y'$ 中分解出因数 $y y'$ 。

$y y' \cdot 2 - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x$

解题步骤 5.3.2

从 $- 3 y^{2} y'$ 中分解出因数 $y y'$ 。

$y y' \cdot 2 + y y' (- 3 y) = - 3 x^{2} - 6 x$

解题步骤 5.3.3

从 $y y' \cdot 2 + y y' (- 3 y)$ 中分解出因数 $y y'$ 。

$y y' (2 - 3 y) = - 3 x^{2} - 6 x$

解题步骤 5.4

将 $y y' (2 - 3 y) = - 3 x^{2} - 6 x$ 中的每一项除以 $y (2 - 3 y)$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1

将 $y y' (2 - 3 y) = - 3 x^{2} - 6 x$ 中的每一项都除以 $y (2 - 3 y)$ 。

$\frac{y y' (2 - 3 y)}{y (2 - 3 y)} = \frac{- 3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} + \frac{- 6 x}{y (2 - 3 y)}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.1

约去 $y$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y y' (2 - 3 y)}{y (2 - 3 y)} = \frac{- 3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} + \frac{- 6 x}{y (2 - 3 y)}$

解题步骤 5.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (2 - 3 y)}{2 - 3 y} = \frac{- 3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} + \frac{- 6 x}{y (2 - 3 y)}$

解题步骤 5.4.2.2

约去 $2 - 3 y$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (2 - 3 y)}{2 - 3 y} = \frac{- 3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} + \frac{- 6 x}{y (2 - 3 y)}$

解题步骤 5.4.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} + \frac{- 6 x}{y (2 - 3 y)}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} + \frac{- 6 x}{y (2 - 3 y)}$

解题步骤 5.4.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} - \frac{6 x}{y (2 - 3 y)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} - \frac{6 x}{y (2 - 3 y)}$

微积分学 示例

微积分学示例