微积分学示例

$\frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1

将 $\frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 4

用 $7 x^{4} + 5$ 除以 $x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 4.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

解题步骤 4.2

将被除数中的最高阶项 $7 x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

解题步骤 4.3

将新的商式项乘以除数。

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

解题步骤 4.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $7 x^{4} + 0 + 7 x^{2}$ 中的所有符号

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

解题步骤 4.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

解题步骤 4.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

解题步骤 4.7

将被除数中的最高阶项 $- 7 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

解题步骤 4.8

将新的商式项乘以除数。

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{2}$

$0$

$7$

解题步骤 4.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 7 x^{2} + 0 - 7$ 中的所有符号

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{2}$

$0$

$7$

解题步骤 4.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{2}$

$0$

$7$

$12$

解题步骤 4.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int 7 x^{2} - 7 + \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 7 x^{2} d x + \int - 7 d x + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 6

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$7 \int x^{2} d x + \int - 7 d x + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 7 d x + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 7 x + C + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 10

由于 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 11

化简表达式。

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解题步骤 11.1

将 $x^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 11.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 12

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x) + C$ 。

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 (\arctan (x) + C)$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

化简。

$\frac{7 x^{3}}{3} - 7 x + 12 \arctan (x) + C$

解题步骤 13.2

重新排序项。

$\frac{7}{3} x^{3} - 7 x + 12 \arctan (x) + C$

解题步骤 14

答案是函数 $f (x) = \frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{7}{3} x^{3} - 7 x + 12 \arctan (x) + C$

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