微积分学示例

$f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 4$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $18 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $18$ 。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $24 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $24$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [36 x]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $36 x$ 对 $x$ 的导数是 $36 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36 \cdot 1$

解题步骤 2.4.3

将 $36$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $18 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $2$ 乘以 $18$ 。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + 0$

解题步骤 4.1.4.2

将 $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ 。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$

解题步骤 5.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.2.1

从 $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) + 24 x^{2} + 36 x = 0$

解题步骤 5.2.1.2

从 $24 x^{2}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) + 4 x (6 x) + 36 x = 0$

解题步骤 5.2.1.3

从 $36 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) + 4 x (6 x) + 4 x (9) = 0$

解题步骤 5.2.1.4

从 $4 x (x^{2}) + 4 x (6 x)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2} + 6 x) + 4 x (9) = 0$

解题步骤 5.2.1.5

从 $4 x (x^{2} + 6 x) + 4 x (9)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

解题步骤 5.2.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$4 x (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

解题步骤 5.2.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

解题步骤 5.2.2.3

重写多项式。

$4 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

解题步骤 5.2.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$4 x {(x + 3)}^{2} = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

解题步骤 5.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将 ${(x + 3)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 ${(x + 3)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 3)}^{2} = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 ${(x + 3)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 5.5.2.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 5.6

最终解为使 $4 x {(x + 3)}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 3$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, - 3$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(0)}^{2} + 48 (0) + 36$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$12 \cdot 0 + 48 (0) + 36$

解题步骤 9.1.2

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$0 + 48 (0) + 36$

解题步骤 9.1.3

将 $48$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 36$

解题步骤 9.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 36$

解题步骤 9.2.2

将 $0$ 和 $36$ 相加。

$36$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 0$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2} + 4$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 8 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2} + 4$

解题步骤 11.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 8 \cdot 0 + 18 {(0)}^{2} + 4$

解题步骤 11.2.1.3

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 18 {(0)}^{2} + 4$

解题步骤 11.2.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 18 \cdot 0 + 4$

解题步骤 11.2.1.5

将 $18$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 4$

解题步骤 11.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 0 + 4$

解题步骤 11.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 4$

解题步骤 11.2.2.3

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$f (0) = 4$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $4$ 。

$y = 4$

解题步骤 12

计算在 $x = - 3$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(- 3)}^{2} + 48 (- 3) + 36$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 \cdot 9 + 48 (- 3) + 36$

解题步骤 13.1.2

将 $12$ 乘以 $9$ 。

$108 + 48 (- 3) + 36$

解题步骤 13.1.3

将 $48$ 乘以 $- 3$ 。

$108 - 144 + 36$

解题步骤 13.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 13.2.1

从 $108$ 中减去 $144$ 。

$- 36 + 36$

解题步骤 13.2.2

将 $- 36$ 和 $36$ 相加。

$0$

解题步骤 14

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 14.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 14.2

将区间 $(- \infty, - 3)$ 内的任一数字（例如 $- 6$ ）代入一阶导数 $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.2.1

使用表达式中的 $- 6$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 6) = 4 {(- 6)}^{3} + 24 {(- 6)}^{2} + 36 (- 6)$

解题步骤 14.2.2

化简结果。

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解题步骤 14.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 14.2.2.1.1

对 $- 6$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 6) = 4 \cdot - 216 + 24 {(- 6)}^{2} + 36 (- 6)$

解题步骤 14.2.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 216$ 。

$f' (- 6) = - 864 + 24 {(- 6)}^{2} + 36 (- 6)$

解题步骤 14.2.2.1.3

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 6) = - 864 + 24 \cdot 36 + 36 (- 6)$

解题步骤 14.2.2.1.4

将 $24$ 乘以 $36$ 。

$f' (- 6) = - 864 + 864 + 36 (- 6)$

解题步骤 14.2.2.1.5

将 $36$ 乘以 $- 6$ 。

$f' (- 6) = - 864 + 864 - 216$

解题步骤 14.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 14.2.2.2.1

将 $- 864$ 和 $864$ 相加。

$f' (- 6) = 0 - 216$

解题步骤 14.2.2.2.2

从 $0$ 中减去 $216$ 。

$f' (- 6) = - 216$

解题步骤 14.2.2.3

最终答案为 $- 216$ 。

$- 216$

解题步骤 14.3

将区间 $(- 3, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.3.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 36 (- 2)$

解题步骤 14.3.2

化简结果。

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解题步骤 14.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 14.3.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8 + 24 {(- 2)}^{2} + 36 (- 2)$

解题步骤 14.3.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 8$ 。

$f' (- 2) = - 32 + 24 {(- 2)}^{2} + 36 (- 2)$

解题步骤 14.3.2.1.3

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2) = - 32 + 24 \cdot 4 + 36 (- 2)$

解题步骤 14.3.2.1.4

将 $24$ 乘以 $4$ 。

$f' (- 2) = - 32 + 96 + 36 (- 2)$

解题步骤 14.3.2.1.5

将 $36$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (- 2) = - 32 + 96 - 72$

解题步骤 14.3.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 14.3.2.2.1

将 $- 32$ 和 $96$ 相加。

$f' (- 2) = 64 - 72$

解题步骤 14.3.2.2.2

从 $64$ 中减去 $72$ 。

$f' (- 2) = - 8$

解题步骤 14.3.2.3

最终答案为 $- 8$ 。

$- 8$

解题步骤 14.4

将区间 $(0, \infty)$ 内的任一数字（例如 $2$ ）代入一阶导数 $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.4.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} + 24 {(2)}^{2} + 36 (2)$

解题步骤 14.4.2

化简结果。

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解题步骤 14.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 14.4.2.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (2) = 4 \cdot 8 + 24 {(2)}^{2} + 36 (2)$

解题步骤 14.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$f' (2) = 32 + 24 {(2)}^{2} + 36 (2)$

解题步骤 14.4.2.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (2) = 32 + 24 \cdot 4 + 36 (2)$

解题步骤 14.4.2.1.4

将 $24$ 乘以 $4$ 。

$f' (2) = 32 + 96 + 36 (2)$

解题步骤 14.4.2.1.5

将 $36$ 乘以 $2$ 。

$f' (2) = 32 + 96 + 72$

解题步骤 14.4.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 14.4.2.2.1

将 $32$ 和 $96$ 相加。

$f' (2) = 128 + 72$

解题步骤 14.4.2.2.2

将 $128$ 和 $72$ 相加。

$f' (2) = 200$

解题步骤 14.4.2.3

最终答案为 $200$ 。

$200$

解题步骤 14.5

由于一阶导数在 $x = - 3$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 14.6

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 0$ 是极小值。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 15

微积分学 示例

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