微积分学示例

$\int 2 \sqrt[3]{\sin (2 x)} \cos (2 x) d x$

解题步骤 1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \sqrt[3]{\sin (2 x)} \cos (2 x) d x$

解题步骤 2

使 $u_{2} = \sin (2 x)$ 。然后使 $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{2} = \sin (2 x)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\sin (2 x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 2.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.1.2.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.1.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.1.3

求微分。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

解题步骤 2.1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 2.1.3.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\cos (2 x) \cdot 2$

解题步骤 2.1.3.3.2

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$2 \cos (2 x)$

解题步骤 2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$2 \int \sqrt[3]{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 3

组合 $\sqrt[3]{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 \int \frac{\sqrt[3]{u_{2}}}{2} d u_{2}$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{2} \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

化简。

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解题步骤 5.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{2} \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 5.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 5.1.2.2

重写表达式。

$1 \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 5.1.3

将 $\int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 5.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{u_{2}}$ 重写成 ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

解题步骤 6

根据幂法则， ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{3}{4} {u_{2}}^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{3}{4} {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 7

使用 $\sin (2 x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{3}{4} {\sin (2 x)}^{\frac{4}{3}} + C$

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