微积分学示例

$f (x) = \frac{2}{x + 1}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{2}{x + 1} d x$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 4

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 4.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$2 \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 5

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$2 (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 6

化简。

$2 \ln (| u |) + C$

解题步骤 7

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \ln (| x + 1 |) + C$

解题步骤 8

答案是函数 $f (x) = \frac{2}{x + 1}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $2 \ln (| x + 1 |) + C$

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