微积分学示例

$A (t) = 300 t e^{- 2.5 t}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $300$ 对于 $t$ 是常数，所以 $300 t e^{- 2.5 t}$ 对 $t$ 的导数是 $300 \frac{d}{d t} [t e^{- 2.5 t}]$ 。

$300 \frac{d}{d t} [t e^{- 2.5 t}]$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = e^{- 2.5 t}$ 。

$300 (t \frac{d}{d t} [e^{- 2.5 t}] + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - 2.5 t$ 。

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解题步骤 1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 2.5 t$ 。

$300 (t (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 1.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$300 (t (e^{u} \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 1.3.3

使用 $- 2.5 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$300 (t (e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 1.4

求微分。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- 2.5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 2.5 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 2.5 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$300 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \frac{d}{d t} [t])) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$300 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \cdot 1)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 1.4.3

化简表达式。

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解题步骤 1.4.3.1

将 $- 2.5$ 乘以 $1$ 。

$300 (t (e^{- 2.5 t} \cdot - 2.5) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 1.4.3.2

将 $- 2.5$ 移到 $e^{- 2.5 t}$ 的左侧。

$300 (t (- 2.5 \cdot e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 1.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \cdot 1)$

解题步骤 1.4.5

将 $e^{- 2.5 t}$ 乘以 $1$ 。

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

运用分配律。

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t})) + 300 e^{- 2.5 t}$

解题步骤 1.5.2

将 $- 2.5$ 乘以 $300$ 。

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$

解题步骤 1.5.3

重新排序项。

$- 750 e^{- 2.5 t} t + 300 e^{- 2.5 t}$

解题步骤 1.5.4

将 $- 750 e^{- 2.5 t} t + 300 e^{- 2.5 t}$ 中的因式重新排序。

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [- 750 t e^{- 2.5 t}] + \frac{d}{d t} [300 e^{- 2.5 t}]$ 。

$A'' (t) = \frac{d}{d t} (- 750 t e^{- 2.5 t}) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d t} [- 750 t e^{- 2.5 t}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 750$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 750 t e^{- 2.5 t}$ 对 $t$ 的导数是 $- 750 \frac{d}{d t} [t e^{- 2.5 t}]$ 。

$A'' (t) = - 750 \frac{d}{d t} (t e^{- 2.5 t}) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = e^{- 2.5 t}$ 。

$A'' (t) = - 750 (t \frac{d}{d t} (e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - 2.5 t$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- 2.5 t$ 。

$A'' (t) = - 750 (t (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d t} (- 2.5 t)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

解题步骤 2.2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$A'' (t) = - 750 (t (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} (- 2.5 t)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $- 2.5 t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$A'' (t) = - 750 (t (e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (- 2.5 t)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

解题步骤 2.2.4

因为 $- 2.5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 2.5 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 2.5 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$A'' (t) = - 750 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \frac{d}{d t} t)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

解题步骤 2.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$A'' (t) = - 750 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \cdot 1)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$A'' (t) = - 750 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \cdot 1)) + e^{- 2.5 t} \cdot 1) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

解题步骤 2.2.7

将 $- 2.5$ 乘以 $1$ 。

$A'' (t) = - 750 (t (e^{- 2.5 t} \cdot - 2.5) + e^{- 2.5 t} \cdot 1) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

解题步骤 2.2.8

将 $- 2.5$ 移到 $e^{- 2.5 t}$ 的左侧。

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 \cdot e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \cdot 1) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

解题步骤 2.2.9

将 $e^{- 2.5 t}$ 乘以 $1$ 。

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d t} [300 e^{- 2.5 t}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $300$ 对于 $t$ 是常数，所以 $300 e^{- 2.5 t}$ 对 $t$ 的导数是 $300 \frac{d}{d t} [e^{- 2.5 t}]$ 。

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 \frac{d}{d t} (e^{- 2.5 t})$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - 2.5 t$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- 2.5 t$ 。

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d t} (- 2.5 t))$

解题步骤 2.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} (- 2.5 t))$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $- 2.5 t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (- 2.5 t))$

解题步骤 2.3.3

因为 $- 2.5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 2.5 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 2.5 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \frac{d}{d t} t))$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \cdot 1))$

解题步骤 2.3.5

将 $- 2.5$ 乘以 $1$ 。

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (e^{- 2.5 t} \cdot - 2.5)$

解题步骤 2.3.6

将 $- 2.5$ 移到 $e^{- 2.5 t}$ 的左侧。

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (- 2.5 \cdot e^{- 2.5 t})$

解题步骤 2.3.7

将 $- 2.5$ 乘以 $300$ 。

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) - 750 e^{- 2.5 t}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t})) - 750 e^{- 2.5 t} - 750 e^{- 2.5 t}$

解题步骤 2.4.2

合并项。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $- 2.5$ 乘以 $- 750$ 。

$A'' (t) = 1875 (t (e^{- 2.5 t})) - 750 e^{- 2.5 t} - 750 e^{- 2.5 t}$

解题步骤 2.4.2.2

从 $- 750 e^{- 2.5 t}$ 中减去 $750 e^{- 2.5 t}$ 。

$A'' (t) = 1875 t e^{- 2.5 t} - 1500 e^{- 2.5 t}$

解题步骤 2.4.3

重新排序项。

$A'' (t) = 1875 e^{- 2.5 t} t - 1500 e^{- 2.5 t}$

解题步骤 2.4.4

将 $1875 e^{- 2.5 t} t - 1500 e^{- 2.5 t}$ 中的因式重新排序。

$A'' (t) = 1875 t e^{- 2.5 t} - 1500 e^{- 2.5 t}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

因为 $300$ 对于 $t$ 是常数，所以 $300 t e^{- 2.5 t}$ 对 $t$ 的导数是 $300 \frac{d}{d t} [t e^{- 2.5 t}]$ 。

$300 \frac{d}{d t} [t e^{- 2.5 t}]$

解题步骤 4.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = e^{- 2.5 t}$ 。

$300 (t \frac{d}{d t} [e^{- 2.5 t}] + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - 2.5 t$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 2.5 t$ 。

$300 (t (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.1.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$300 (t (e^{u} \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.1.3.3

使用 $- 2.5 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$300 (t (e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.1.4

求微分。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $- 2.5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 2.5 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 2.5 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$300 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \frac{d}{d t} [t])) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$300 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \cdot 1)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.1.4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.1.4.3.1

将 $- 2.5$ 乘以 $1$ 。

$300 (t (e^{- 2.5 t} \cdot - 2.5) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.1.4.3.2

将 $- 2.5$ 移到 $e^{- 2.5 t}$ 的左侧。

$300 (t (- 2.5 \cdot e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 4.1.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \cdot 1)$

解题步骤 4.1.4.5

将 $e^{- 2.5 t}$ 乘以 $1$ 。

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t})$

解题步骤 4.1.5

化简。

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解题步骤 4.1.5.1

运用分配律。

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t})) + 300 e^{- 2.5 t}$

解题步骤 4.1.5.2

将 $- 2.5$ 乘以 $300$ 。

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$

解题步骤 4.1.5.3

重新排序项。

$- 750 e^{- 2.5 t} t + 300 e^{- 2.5 t}$

解题步骤 4.1.5.4

将 $- 750 e^{- 2.5 t} t + 300 e^{- 2.5 t}$ 中的因式重新排序。

$f' (t) = - 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$

解题步骤 4.2

$A (t)$ 对 $t$ 的一阶导数是 $- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$ 。

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t} = 0$

解题步骤 5.2

从 $- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$ 中分解出因数 $150 e^{- 2.5 t}$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $- 750 t e^{- 2.5 t}$ 中分解出因数 $150 e^{- 2.5 t}$ 。

$150 e^{- 2.5 t} (- 5 t) + 300 e^{- 2.5 t} = 0$

解题步骤 5.2.2

从 $300 e^{- 2.5 t}$ 中分解出因数 $150 e^{- 2.5 t}$ 。

$150 e^{- 2.5 t} (- 5 t) + 150 e^{- 2.5 t} (2) = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $150 e^{- 2.5 t} (- 5 t) + 150 e^{- 2.5 t} (2)$ 中分解出因数 $150 e^{- 2.5 t}$ 。

$150 e^{- 2.5 t} (- 5 t + 2) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{- 2.5 t} = 0$

$- 5 t + 2 = 0$

解题步骤 5.4

将 $e^{- 2.5 t}$ 设为等于 $0$ 并求解 $t$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $e^{- 2.5 t}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{- 2.5 t} = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $t$ 的 $e^{- 2.5 t} = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- 2.5 t}) = \ln (0)$

解题步骤 5.4.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 5.4.2.3

$e^{- 2.5 t} = 0$ 无解

无解

解题步骤 5.5

将 $- 5 t + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $t$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $- 5 t + 2$ 设为等于 $0$ 。

$- 5 t + 2 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $t$ 的 $- 5 t + 2 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$- 5 t = - 2$

解题步骤 5.5.2.2

将 $- 5 t = - 2$ 中的每一项除以 $- 5$ 并化简。

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解题步骤 5.5.2.2.1

将 $- 5 t = - 2$ 中的每一项都除以 $- 5$ 。

$\frac{- 5 t}{- 5} = \frac{- 2}{- 5}$

解题步骤 5.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.2.2.1

约去 $- 5$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 5 t}{- 5} = \frac{- 2}{- 5}$

解题步骤 5.5.2.2.2.1.2

用 $t$ 除以 $1$ 。

$t = \frac{- 2}{- 5}$

解题步骤 5.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.2.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$t = \frac{2}{5}$

解题步骤 5.6

最终解为使 $150 e^{- 2.5 t} (- 5 t + 2) = 0$ 成立的所有值。

$t = \frac{2}{5}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$t = \frac{2}{5}$

解题步骤 8

计算在 $t = \frac{2}{5}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$1875 (\frac{2}{5}) e^{- 2.5 (\frac{2}{5})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1.1

从 $1875$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 (375) \frac{2}{5} e^{- 2.5 (\frac{2}{5})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

解题步骤 9.1.1.2

约去公因数。

$5 \cdot 375 \frac{2}{5} e^{- 2.5 (\frac{2}{5})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

解题步骤 9.1.1.3

重写表达式。

$375 \cdot 2 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

解题步骤 9.1.2

将 $375$ 乘以 $2$ 。

$750 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

解题步骤 9.1.3

约去 $2.5$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.3.1

从 $- 2.5$ 中分解出因数 $2.5$ 。

$750 e^{2.5 (- 1) \frac{2}{5}} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

解题步骤 9.1.3.2

从 $5$ 中分解出因数 $2.5$ 。

$750 e^{2.5 \cdot - 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2}} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

解题步骤 9.1.3.3

约去公因数。

$750 e^{2.5 \cdot - 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2}} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

解题步骤 9.1.3.4

重写表达式。

$750 e^{- 1 (\frac{2}{2})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

解题步骤 9.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.4.1

约去公因数。

$750 e^{- 1 (\frac{2}{2})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

解题步骤 9.1.4.2

重写表达式。

$750 e^{- 1 \cdot 1} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

解题步骤 9.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$750 e^{- 1} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

解题步骤 9.1.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$750 \frac{1}{e} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

解题步骤 9.1.7

组合 $750$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$\frac{750}{e} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

解题步骤 9.1.8

使用近似值替换 $e$ 。

$\frac{750}{2.71828182} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

解题步骤 9.1.9

用 $750$ 除以 $2.71828182$ 。

$275.90958087 - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

解题步骤 9.1.10

约去 $2.5$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.10.1

从 $- 2.5$ 中分解出因数 $2.5$ 。

$275.90958087 - 1500 e^{2.5 (- 1) \frac{2}{5}}$

解题步骤 9.1.10.2

从 $5$ 中分解出因数 $2.5$ 。

$275.90958087 - 1500 e^{2.5 \cdot - 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2}}$

解题步骤 9.1.10.3

约去公因数。

$275.90958087 - 1500 e^{2.5 \cdot - 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2}}$

解题步骤 9.1.10.4

重写表达式。

$275.90958087 - 1500 e^{- 1 (\frac{2}{2})}$

解题步骤 9.1.11

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.11.1

约去公因数。

$275.90958087 - 1500 e^{- 1 (\frac{2}{2})}$

解题步骤 9.1.11.2

重写表达式。

$275.90958087 - 1500 e^{- 1 \cdot 1}$

解题步骤 9.1.12

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$275.90958087 - 1500 e^{- 1}$

解题步骤 9.1.13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$275.90958087 - 1500 \frac{1}{e}$

解题步骤 9.1.14

组合 $- 1500$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$275.90958087 + \frac{- 1500}{e}$

解题步骤 9.1.15

将负号移到分数的前面。

$275.90958087 - \frac{1500}{e}$

解题步骤 9.1.16

使用近似值替换 $e$ 。

$275.90958087 - \frac{1500}{2.71828182}$

解题步骤 9.1.17

用 $1500$ 除以 $2.71828182$ 。

$275.90958087 - 1 \cdot 551.81916175$

解题步骤 9.1.18

将 $- 1$ 乘以 $551.81916175$ 。

$275.90958087 - 551.81916175$

解题步骤 9.2

从 $275.90958087$ 中减去 $551.81916175$ 。

$- 275.90958087$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $t = \frac{2}{5}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$t = \frac{2}{5}$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $t = \frac{2}{5}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\frac{2}{5}$ 替换变量 $t$ 。

$A (\frac{2}{5}) = 300 (\frac{2}{5}) \cdot e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.1

从 $300$ 中分解出因数 $5$ 。

$A (\frac{2}{5}) = 5 (60) (\frac{2}{5}) \cdot e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

解题步骤 11.2.1.2

约去公因数。

$A (\frac{2}{5}) = 5 \cdot (60 (\frac{2}{5})) \cdot e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

解题步骤 11.2.1.3

重写表达式。

$A (\frac{2}{5}) = 60 \cdot 2 \cdot e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

解题步骤 11.2.2

将 $60$ 乘以 $2$ 。

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

解题步骤 11.2.3

约去 $2.5$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.3.1

从 $- 2.5$ 中分解出因数 $2.5$ 。

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{2.5 (- 1) (\frac{2}{5})}$

解题步骤 11.2.3.2

从 $5$ 中分解出因数 $2.5$ 。

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{2.5 \cdot (- 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2})}$

解题步骤 11.2.3.3

约去公因数。

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{2.5 \cdot (- 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2})}$

解题步骤 11.2.3.4

重写表达式。

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{- 1 (\frac{2}{2})}$

解题步骤 11.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.4.1

约去公因数。

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{- 1 (\frac{2}{2})}$

解题步骤 11.2.4.2

重写表达式。

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{- 1 \cdot 1}$

解题步骤 11.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{- 1}$

解题步骤 11.2.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot \frac{1}{e}$

解题步骤 11.2.7

组合 $120$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$A (\frac{2}{5}) = \frac{120}{e}$

解题步骤 11.2.8

最终答案为 $\frac{120}{e}$ 。

$y = \frac{120}{e}$

解题步骤 12

这些是 $A (t) = 300 t e^{- 2.5 t}$ 的局部极值。

$(\frac{2}{5}, \frac{120}{e})$ 是一个局部最大值

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例