微积分学示例

$\int \sqrt{\frac{x^{2}}{2}} d x$

解题步骤 1

使 $u_{2} = \sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ 。然后使 $d u_{2} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} d x$ ，以便 $2^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{2} = \sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}]$

解题步骤 1.1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ 重写成 ${(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \frac{x^{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

解题步骤 1.1.3.3

使用 $\frac{x^{2}}{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

解题步骤 1.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

解题步骤 1.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

解题步骤 1.1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

解题步骤 1.1.7

化简分子。

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解题步骤 1.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

解题步骤 1.1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

解题步骤 1.1.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

解题步骤 1.1.9

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{2}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.1.10

合并分数。

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解题步骤 1.1.10.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.10.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x)$

解题步骤 1.1.12

化简项。

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解题步骤 1.1.12.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{2}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} x$

解题步骤 1.1.12.2

组合 $x$ 和 $\frac{2}{4}$ 。

$\frac{x \cdot 2}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.12.3

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot x}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.12.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.12.4.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x)}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.12.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.12.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.12.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.12.4.2.3

重写表达式。

$\frac{x}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.13

化简。

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解题步骤 1.1.13.1

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$\frac{x}{2} {(\frac{2}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.13.2

对 $\frac{2}{x^{2}}$ 运用乘积法则。

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.13.3

合并项。

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解题步骤 1.1.13.3.1

将 ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.13.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 1.1.13.3.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.13.3.1.2.1

约去公因数。

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 1.1.13.3.1.2.2

重写表达式。

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}$

解题步骤 1.1.13.3.2

化简。

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x}$

解题步骤 1.1.13.3.3

将 $\frac{x}{2}$ 乘以 $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{x}$ 。

$\frac{x \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2 x}$

解题步骤 1.1.13.3.4

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $2^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{x}{2 x \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.13.3.5

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.13.3.5.1

移动 $2^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x}$

解题步骤 1.1.13.3.5.2

将 $2^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $2$ 。

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解题步骤 1.1.13.3.5.2.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x}$

解题步骤 1.1.13.3.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2} + 1} x}$

解题步骤 1.1.13.3.5.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x}$

解题步骤 1.1.13.3.5.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{2^{\frac{- 1 + 2}{2}} x}$

解题步骤 1.1.13.3.5.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x}{2^{\frac{1}{2}} x}$

解题步骤 1.1.13.3.6

约去公因数。

$\frac{x}{2^{\frac{1}{2}} x}$

解题步骤 1.1.13.3.7

重写表达式。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int u_{2} \frac{1}{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}} d u_{2}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\int u_{2} (1 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) d u_{2}$

解题步骤 2.2

将 $2^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\int u_{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

解题步骤 3

由于 $2^{\frac{1}{2}}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $2^{\frac{1}{2}}$ 移到积分外。

$2^{\frac{1}{2}} \int u_{2} d u_{2}$

解题步骤 4

根据幂法则， $u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ 重写为 $2^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ 。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

组合 $2^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 5.2.2

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $2^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 5.2.3

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $2$ 乘以 $2^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 5.2.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 5.2.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 5.2.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 5.2.3.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 6

使用 $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}}^{2} + C$

解题步骤 7

重新排序项。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{\frac{1}{2} x^{2}}}^{2} + C$

微积分学 示例

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