微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x - \frac{π}{4})}{x}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{2}$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

解题步骤 2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

解题步骤 4

计算 $\frac{π}{4}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{π}{2}$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

解题步骤 5

将 $\frac{π}{2}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

解题步骤 5.2

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4})}{\frac{π}{2}}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

将分子乘以分母的倒数。

$\sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

解题步骤 6.2

要将 $\frac{π}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

解题步骤 6.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\sin (\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

解题步骤 6.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sin (\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

解题步骤 6.4

在公分母上合并分子。

$\sin (\frac{π \cdot 2 - π}{4}) \frac{2}{π}$

解题步骤 6.5

化简分子。

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解题步骤 6.5.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$\sin (\frac{2 \cdot π - π}{4}) \frac{2}{π}$

解题步骤 6.5.2

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$\sin (\frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

解题步骤 6.6

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{π}$

解题步骤 6.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{π}$

解题步骤 6.7.2

重写表达式。

$\sqrt{2} \frac{1}{π}$

解题步骤 6.8

组合 $\sqrt{2}$ 和 $\frac{1}{π}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{π}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{2}}{π}$

小数形式：

$0.45015815 \dots$

微积分学 示例

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