微积分学示例

$D_{x} (\frac{2 x + 5}{x^{2} - 1})$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

组合 $D_{x}$ 和 $\frac{2 x + 5}{x^{2} - 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{D_{x} (2 x + 5)}{x^{2} - 1}]$

解题步骤 1.2

因为 $D_{x}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{D_{x} (2 x + 5)}{x^{2} - 1}$ 对 $x$ 的导数是 $D_{x} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{x^{2} - 1}]$ 。

$D_{x} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{x^{2} - 1}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 x + 5$ 且 $g (x) = x^{2} - 1$ 。

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5] - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $2 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) (2 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) (2 + 0) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 移到 $x^{2} - 1$ 的左侧。

$D_{x} \frac{2 \cdot (x^{2} - 1) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$D_{x} \frac{2 (x^{2} - 1) - (2 x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$D_{x} \frac{2 (x^{2} - 1) - (2 x + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$D_{x} \frac{2 (x^{2} - 1) - (2 x + 5) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.10

合并分数。

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解题步骤 3.10.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$D_{x} \frac{2 (x^{2} - 1) - (2 x + 5) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.10.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$D_{x} \frac{2 (x^{2} - 1) - 2 (2 x + 5) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.10.3

组合 $D_{x}$ 和 $\frac{2 (x^{2} - 1) - 2 (2 x + 5) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ 。

$\frac{D_{x} (2 (x^{2} - 1) - 2 (2 x + 5) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{D_{x} (2 x^{2} + 2 \cdot - 1 - 2 (2 x + 5) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{D_{x} (2 x^{2} + 2 \cdot - 1 + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 5) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$\frac{D_{x} (2 x^{2} + 2 \cdot - 1 - 2 (2 x) x - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4

运用分配律。

$\frac{D_{x} (2 x^{2}) + D_{x} (2 \cdot - 1) + D_{x} (- 2 (2 x) x) + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5

化简分子。

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解题步骤 4.5.1

化简每一项。

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解题步骤 4.5.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 D_{x} x^{2} + D_{x} (2 \cdot - 1) + D_{x} (- 2 (2 x) x) + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 D_{x} x^{2} + D_{x} \cdot - 2 + D_{x} (- 2 (2 x) x) + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.1.3

将 $- 2$ 移到 $D_{x}$ 的左侧。

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 \cdot D_{x} + D_{x} (- 2 (2 x) x) + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 2 \cdot 2 D_{x} x \cdot x + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.5.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 2 \cdot 2 D_{x} (x \cdot x) + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 2 \cdot 2 D_{x} x^{2} + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.1.6

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 4 D_{x} x^{2} + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.1.7

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 4 D_{x} x^{2} - 2 \cdot 5 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.1.8

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 4 D_{x} x^{2} - 10 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.2

从 $2 D_{x} x^{2}$ 中减去 $4 D_{x} x^{2}$ 。

$\frac{- 2 D_{x} - 2 D_{x} x^{2} - 10 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.6

重新排序项。

$\frac{- 2 D_{x} - 2 x^{2} D_{x} - 10 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.7

化简分子。

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解题步骤 4.7.1

从 $- 2 D_{x} - 2 x^{2} D_{x} - 10 D_{x} x$ 中分解出因数 $2 D_{x}$ 。

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解题步骤 4.7.1.1

从 $- 2 D_{x}$ 中分解出因数 $2 D_{x}$ 。

$\frac{2 D_{x} (- 1) - 2 x^{2} D_{x} - 10 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.7.1.2

从 $- 2 x^{2} D_{x}$ 中分解出因数 $2 D_{x}$ 。

$\frac{2 D_{x} (- 1) + 2 D_{x} (- x^{2}) - 10 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.7.1.3

从 $- 10 D_{x} x$ 中分解出因数 $2 D_{x}$ 。

$\frac{2 D_{x} (- 1) + 2 D_{x} (- x^{2}) + 2 D_{x} (- 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.7.1.4

从 $2 D_{x} (- 1) + 2 D_{x} (- x^{2})$ 中分解出因数 $2 D_{x}$ 。

$\frac{2 D_{x} (- 1 - x^{2}) + 2 D_{x} (- 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.7.1.5

从 $2 D_{x} (- 1 - x^{2}) + 2 D_{x} (- 5 x)$ 中分解出因数 $2 D_{x}$ 。

$\frac{2 D_{x} (- 1 - x^{2} - 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.7.2

重新排序项。

$\frac{2 D_{x} (- x^{2} - 5 x - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.8

化简分母。

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解题步骤 4.8.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{2 D_{x} (- x^{2} - 5 x - 1)}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.8.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{2 D_{x} (- x^{2} - 5 x - 1)}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

解题步骤 4.8.3

对 $(x + 1) (x - 1)$ 运用乘积法则。

$\frac{2 D_{x} (- x^{2} - 5 x - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.9

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 D_{x} (- (x^{2}) - 5 x - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.10

从 $- 5 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 D_{x} (- (x^{2}) - (5 x) - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.11

从 $- (x^{2}) - (5 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 D_{x} (- (x^{2} + 5 x) - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.12

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{2 D_{x} (- (x^{2} + 5 x) - 1 (1))}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.13

从 $- (x^{2} + 5 x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 D_{x} (- (x^{2} + 5 x + 1))}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.14

将 $- (x^{2} + 5 x + 1)$ 重写为 $- 1 (x^{2} + 5 x + 1)$ 。

$\frac{2 D_{x} (- 1 (x^{2} + 5 x + 1))}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.15

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(2 D_{x}) (x^{2} + 5 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.16

将 $- \frac{(2 D_{x}) (x^{2} + 5 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{2 D_{x} (x^{2} + 5 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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