微积分学示例

$f (x) = {\begin{cases} x + 2 & x < 0 \\ e^{x} & 0 \leq x \leq 1 \\ 2 - x & x > 1 \end{cases}$

解题步骤 1

当 $x$ 从左侧趋于 $0$ 时，求 $x + 2$ 的极限。

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解题步骤 1.1

将左右极限改为左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} x + 2$

解题步骤 1.2

计算极限值。

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解题步骤 1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 0^{-}} x + lim_{x \to 0^{-}} 2$

解题步骤 1.2.2

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$lim_{x \to 0^{-}} x + 2$

解题步骤 1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$0 + 2$

解题步骤 1.4

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$2$

解题步骤 2

计算 $e^{x}$ 在 $0$ 处的值。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$e^{0}$

解题步骤 2.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1$

解题步骤 3

由于当 $x$ 从左侧趋于 $0$ 时， $x + 2$ 的极限不等于 $x = 0$ 处的函数值，因此函数在 $x = 0$ 处不连续。

不连续

解题步骤 4

微积分学 示例