微积分学示例

f (x) = {\begin{cases} x + 2 & x < 0 \\ e^{x} & 0 \leq x \leq 1 \\ 2 - x & x > 1 \end{cases}

$f (x) = {\begin{cases} x + 2 & x < 0 \\ e^{x} & 0 \leq x \leq 1 \\ 2 - x & x > 1 \end{cases}$

解题步骤 1

当

x

$x$ 从左侧趋于

0

$0$ 时，求

x + 2

$x + 2$ 的极限。

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解题步骤 1.1

将左右极限改为左极限。

lim_{x \to 0^{-}} x + 2

$lim_{x \to 0^{-}} x + 2$

解题步骤 1.2

计算极限值。

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解题步骤 1.2.1

当

x

$x$ 趋于

0

$0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

lim_{x \to 0^{-}} x + lim_{x \to 0^{-}} 2

$lim_{x \to 0^{-}} x + lim_{x \to 0^{-}} 2$

解题步骤 1.2.2

计算

2

$2$ 的极限值，当

x

$x$ 趋近于

0

$0$ 时此极限值为常数。

lim_{x \to 0^{-}} x + 2

$lim_{x \to 0^{-}} x + 2$

lim_{x \to 0^{-}} x + 2

$lim_{x \to 0^{-}} x + 2$

解题步骤 1.3

将

0

$0$ 代入

x

$x$ 来计算

x

$x$ 的极限值。

0 + 2

$0 + 2$

解题步骤 1.4

将

0

$0$ 和

2

$2$ 相加。

2

$2$

2

$2$

解题步骤 2

计算

e^{x}

$e^{x}$ 在

0

$0$ 处的值。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的

0

$0$ 替换变量

x

$x$ 。

e^{0}

$e^{0}$

解题步骤 2.2

任何数的

0

$0$ 次方都是

1

$1$ 。

1

$1$

1

$1$

解题步骤 3

由于当

x

$x$ 从左侧趋于

0

$0$ 时，

x + 2

$x + 2$ 的极限不等于

x = 0

$x = 0$ 处的函数值，因此函数在

x = 0

$x = 0$ 处不连续。

不连续

解题步骤 4

微积分学 示例

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