微积分学示例

$S (t) = \frac{1}{3} t^{3} - 3.5 t^{2} + 10 t$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\frac{1}{3} t^{3} - 3.5 t^{2} + 10 t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{1}{3} t^{3}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

解题步骤 1.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{3}{3} t^{2} + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

解题步骤 1.2.4

组合 $\frac{3}{3}$ 和 $t^{2}$ 。

$\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

解题步骤 1.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.1

约去公因数。

$\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

解题步骤 1.2.5.2

用 $t^{2}$ 除以 $1$ 。

$t^{2} + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 3.5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 3.5 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $- 3.5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$t^{2} - 3.5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$t^{2} - 3.5 (2 t) + \frac{d}{d t} [10 t]$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 3.5$ 。

$t^{2} - 7 t + \frac{d}{d t} [10 t]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d t} [10 t]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $10$ 对于 $t$ 是常数，所以 $10 t$ 对 $t$ 的导数是 $10 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$t^{2} - 7 t + 10 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$t^{2} - 7 t + 10 \cdot 1$

解题步骤 1.4.3

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$f' (t) = t^{2} - 7 t + 10$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $t^{2} - 7 t + 10$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [10]$ 。

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [10]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 t + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [10]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d t} [- 7 t]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 7$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 7 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 t - 7 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [10]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 t - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [10]$

解题步骤 2.2.3

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$2 t - 7 + \frac{d}{d t} [10]$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $10$ 对于 $t$ 是常数，所以 $10$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$2 t - 7 + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $2 t - 7$ 和 $0$ 相加。

$f'' (t) = 2 t - 7$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $2 t - 7$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 7]$ 。

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 7]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d t} [2 t]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 7]$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d t} [- 7]$

解题步骤 3.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 7$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 3.3.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f''' (t) = 2$

解题步骤 4

$S (t)$ 对 $t$ 的三阶导数是 $2$ 。

$2$

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