微积分学示例

$\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 1

将 $\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

解题步骤 4

使 $x = \tan (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \sec^{2} (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\sec^{2} (t)$ 为正数。

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

化简 $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ 。

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解题步骤 5.1.1

使用勾股恒等式。

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 5.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 5.2

约去 $\sec (t)$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $\sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 5.2.3

重写表达式。

$\int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 6

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

解题步骤 7

因式分解出 $\tan^{2} (t)$ 。

$\int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

解题步骤 8

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 的形式。

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

解题步骤 9

化简。

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

解题步骤 10

使 $u = \sec (t)$ 。然后使 $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ ，以便 $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u = \sec (t)$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 $\sec (t)$ 求导。

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

解题步骤 10.1.2

$\sec (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\sec (t) \tan (t)$ 。

$\sec (t) \tan (t)$

解题步骤 10.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int - 1 + u^{2} d u$

解题步骤 11

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

解题步骤 12

应用常数不变法则。

$- u + C + \int u^{2} d u$

解题步骤 13

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

解题步骤 14

化简。

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

解题步骤 15

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 15.1

使用 $\sec (t)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + C$

解题步骤 15.2

使用 $\arctan (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$- \sec (\arctan (x)) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + C$

解题步骤 16

答案是函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \sec (\arctan (x)) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + C$

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