微积分学示例

$\int \frac{1 - x}{x^{2}} d x$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (1 - x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 1.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (1 - x) x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (1 - x) x^{- 2} d x$

$\int (1 - x) x^{- 2} d x$

$\int (1 - x) x^{- 2} d x$

解题步骤 2

乘以 $(1 - x) x^{- 2}$ 。

$\int 1 x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $x^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$\int x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} d x$

解题步骤 3.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 3.2.1

移动 $x^{- 2}$ 。

$\int x^{- 2} - (x^{- 2} x) d x$

解题步骤 3.2.2

将 $x^{- 2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x^{- 2} - (x^{- 2} x^{1}) d x$

解题步骤 3.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{- 2} - x^{- 2 + 1} d x$

$\int x^{- 2} - x^{- 2 + 1} d x$

解题步骤 3.2.3

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$\int x^{- 2} - x^{- 1} d x$

$\int x^{- 2} - x^{- 1} d x$

$\int x^{- 2} - x^{- 1} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{- 2} d x + \int - x^{- 1} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$- x^{- 1} + C + \int - x^{- 1} d x$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- x^{- 1} + C - \int x^{- 1} d x$

解题步骤 7

$x^{- 1}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- x^{- 1} + C - (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 8

化简。

$- \frac{1}{x} - \ln (| x |) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$