微积分学示例

$e^{- x} (x^{2} + 2 x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{- x}$ 且 $g (x) = x^{2} + 2 x$ 。

$e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x] + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x^{2} + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 1.2.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{- x} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{- x} (2 x + 2 \cdot 1) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 1.2.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 1.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 1.3.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 1.4

求微分。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 1.4.3

化简表达式。

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解题步骤 1.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} \cdot - 1$

解题步骤 1.4.3.2

将 $- 1$ 移到 $(x^{2} + 2 x) e^{- x}$ 的左侧。

$e^{- x} (2 x + 2) - 1 \cdot ((x^{2} + 2 x) e^{- x})$

解题步骤 1.4.3.3

将 $- 1 (x^{2} + 2 x)$ 重写为 $- (x^{2} + 2 x)$ 。

$e^{- x} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

运用分配律。

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

解题步骤 1.5.2

运用分配律。

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x)) e^{- x}$

解题步骤 1.5.3

运用分配律。

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

解题步骤 1.5.4

合并项。

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解题步骤 1.5.4.1

将 $2$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$e^{- x} (2 x) + 2 \cdot e^{- x} - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

解题步骤 1.5.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x} (2 x) + 2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x}$

解题步骤 1.5.4.3

从 $e^{- x} (2 x)$ 中减去 $2 x e^{- x}$ 。

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解题步骤 1.5.4.3.1

移动 $e^{- x}$ 。

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} - 2 x e^{- x}$

解题步骤 1.5.4.3.2

从 $2 x e^{- x}$ 中减去 $2 x e^{- x}$ 。

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 0$

解题步骤 1.5.4.4

将 $2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$ 和 $0$ 相加。

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$

解题步骤 1.5.5

重新排序项。

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$

解题步骤 1.5.6

将 $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$ 中的因式重新排序。

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2} e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{- x}$ 。

$f'' (x) = - (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- x$ 。

$f'' (x) = - (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

解题步骤 2.2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

解题步骤 2.2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

解题步骤 2.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

解题步骤 2.2.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

解题步骤 2.2.8

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$f'' (x) = - (x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

解题步骤 2.2.9

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (e^{- x})$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- x$ 。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x))$

解题步骤 2.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x))$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

解题步骤 2.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 2.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{- x} \cdot - 1)$

解题步骤 2.3.6

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (- 1 \cdot e^{- x})$

解题步骤 2.3.7

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (- e^{- x})$

解题步骤 2.3.8

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) - 2 e^{- x}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) - 2 e^{- x}$

解题步骤 2.4.2

合并项。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 1 (x^{2} (e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) - 2 e^{- x}$

解题步骤 2.4.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - (e^{- x} (2 x)) - 2 e^{- x}$

解题步骤 2.4.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x}$

解题步骤 2.4.3

重新排序项。

$f'' (x) = e^{- x} x^{2} - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x}$

解题步骤 2.4.4

将 $e^{- x} x^{2} - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

$e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x] + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 4.1.2.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{- x} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 4.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{- x} (2 x + 2 \cdot 1) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 4.1.2.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 4.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 4.1.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 4.1.3.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 4.1.4

求微分。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 4.1.4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.1.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} \cdot - 1$

解题步骤 4.1.4.3.2

将 $- 1$ 移到 $(x^{2} + 2 x) e^{- x}$ 的左侧。

$e^{- x} (2 x + 2) - 1 \cdot ((x^{2} + 2 x) e^{- x})$

解题步骤 4.1.4.3.3

将 $- 1 (x^{2} + 2 x)$ 重写为 $- (x^{2} + 2 x)$ 。

$e^{- x} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

解题步骤 4.1.5

化简。

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解题步骤 4.1.5.1

运用分配律。

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

解题步骤 4.1.5.2

运用分配律。

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x)) e^{- x}$

解题步骤 4.1.5.3

运用分配律。

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

解题步骤 4.1.5.4

合并项。

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解题步骤 4.1.5.4.1

将 $2$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$e^{- x} (2 x) + 2 \cdot e^{- x} - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

解题步骤 4.1.5.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x} (2 x) + 2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x}$

解题步骤 4.1.5.4.3

从 $e^{- x} (2 x)$ 中减去 $2 x e^{- x}$ 。

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解题步骤 4.1.5.4.3.1

移动 $e^{- x}$ 。

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} - 2 x e^{- x}$

解题步骤 4.1.5.4.3.2

从 $2 x e^{- x}$ 中减去 $2 x e^{- x}$ 。

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 0$

解题步骤 4.1.5.4.4

将 $2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$ 和 $0$ 相加。

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$

解题步骤 4.1.5.5

重新排序项。

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$

解题步骤 4.1.5.6

将 $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$ 。

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x} = 0$

解题步骤 5.2

从 $- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $- x^{2} e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$e^{- x} (- x^{2}) + 2 e^{- x} = 0$

解题步骤 5.2.2

从 $2 e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} \cdot 2 = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$e^{- x} (- x^{2} + 2) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{- x} = 0$

$- x^{2} + 2 = 0$

解题步骤 5.4

将 $e^{- x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $e^{- x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{- x} = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 $e^{- x} = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

解题步骤 5.4.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 5.4.2.3

$e^{- x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 5.5

将 $- x^{2} + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $- x^{2} + 2$ 设为等于 $0$ 。

$- x^{2} + 2 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $- x^{2} + 2 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$- x^{2} = - 2$

解题步骤 5.5.2.2

将 $- x^{2} = - 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.5.2.2.1

将 $- x^{2} = - 2$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 5.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 5.5.2.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 5.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.2.2.3.1

用 $- 2$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} = 2$

解题步骤 5.5.2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{2}$

解题步骤 5.5.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.5.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{2}$

解题步骤 5.5.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{2}$

解题步骤 5.5.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 5.6

最终解为使 $e^{- x} (- x^{2} + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 8

计算在 $x = \sqrt{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

${(\sqrt{2})}^{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 9.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

解题步骤 9.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

解题步骤 9.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2^{\frac{2}{2}} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

解题步骤 9.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.4.1

约去公因数。

$2^{\frac{2}{2}} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

解题步骤 9.1.4.2

重写表达式。

$2^{1} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

解题步骤 9.1.5

计算指数。

$2 e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

$2 e^{- \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

解题步骤 9.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 9.2.1

从 $2 e^{- \sqrt{2}}$ 中减去 $2 e^{- \sqrt{2}}$ 。

$- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}} + 0$

解题步骤 9.2.2

将 $- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$ 和 $0$ 相加。

$- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \sqrt{2}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \sqrt{2}$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = \sqrt{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\sqrt{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\sqrt{2}) = e^{- (\sqrt{2})} ({(\sqrt{2})}^{2} + 2 (\sqrt{2}))$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 11.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 (\sqrt{2}))$

解题步骤 11.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 (\sqrt{2}))$

解题步骤 11.2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2^{\frac{2}{2}} + 2 (\sqrt{2}))$

解题步骤 11.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.4.1

约去公因数。

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2^{\frac{2}{2}} + 2 (\sqrt{2}))$

解题步骤 11.2.1.4.2

重写表达式。

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2 + 2 (\sqrt{2}))$

解题步骤 11.2.1.5

计算指数。

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2 + 2 (\sqrt{2}))$

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2 + 2 \sqrt{2})$

解题步骤 11.2.2

通过相乘进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

运用分配律。

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} \cdot 2 + e^{- \sqrt{2}} (2 \sqrt{2})$

解题步骤 11.2.2.2

将 $2$ 移到 $e^{- \sqrt{2}}$ 的左侧。

$f (\sqrt{2}) = 2 \cdot e^{- \sqrt{2}} + e^{- \sqrt{2}} (2 \sqrt{2})$

解题步骤 11.2.3

将 $2$ 移到 $e^{- \sqrt{2}}$ 的左侧。

$f (\sqrt{2}) = 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 e^{- \sqrt{2}} \sqrt{2}$

解题步骤 11.2.4

最终答案为 $2 e^{- \sqrt{2}} + 2 e^{- \sqrt{2}} \sqrt{2}$ 。

$y = 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 e^{- \sqrt{2}} \sqrt{2}$

解题步骤 12

计算在 $x = - \sqrt{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

${(- \sqrt{2})}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

对 $- \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

解题步骤 13.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 {\sqrt{2}}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

解题步骤 13.1.3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

${\sqrt{2}}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

解题步骤 13.1.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 13.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

解题步骤 13.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

解题步骤 13.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2^{\frac{2}{2}} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

解题步骤 13.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.4.4.1

约去公因数。

$2^{\frac{2}{2}} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

解题步骤 13.1.4.4.2

重写表达式。

$2^{1} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

解题步骤 13.1.4.5

计算指数。

$2 e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

解题步骤 13.1.5

乘以 $- (- \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 13.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 e^{1 \sqrt{2}} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

解题步骤 13.1.5.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$2 e^{\sqrt{2}} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

解题步骤 13.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

解题步骤 13.1.7

乘以 $- (- \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 13.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{1 \sqrt{2}} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

解题步骤 13.1.7.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

解题步骤 13.1.8

乘以 $- (- \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 13.1.8.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} - 2 e^{1 \sqrt{2}}$

解题步骤 13.1.8.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

解题步骤 13.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 13.2.1

从 $2 e^{\sqrt{2}}$ 中减去 $2 e^{\sqrt{2}}$ 。

$2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} + 0$

解题步骤 13.2.2

将 $2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$ 和 $0$ 相加。

$2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - \sqrt{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \sqrt{2}$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = - \sqrt{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- \sqrt{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \sqrt{2}) = e^{- (- \sqrt{2})} ({(- \sqrt{2})}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

乘以 $- (- \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 15.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \sqrt{2}) = e^{1 \sqrt{2}} ({(- \sqrt{2})}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

解题步骤 15.2.1.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} ({(- \sqrt{2})}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

解题步骤 15.2.2

化简每一项。

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解题步骤 15.2.2.1

对 $- \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

解题步骤 15.2.2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (1 {\sqrt{2}}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

解题步骤 15.2.2.3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} ({\sqrt{2}}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

解题步骤 15.2.2.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 15.2.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

解题步骤 15.2.2.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 (- \sqrt{2}))$

解题步骤 15.2.2.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2^{\frac{2}{2}} + 2 (- \sqrt{2}))$

解题步骤 15.2.2.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.2.4.4.1

约去公因数。

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2^{\frac{2}{2}} + 2 (- \sqrt{2}))$

解题步骤 15.2.2.4.4.2

重写表达式。

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2 + 2 (- \sqrt{2}))$

解题步骤 15.2.2.4.5

计算指数。

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2 + 2 (- \sqrt{2}))$

解题步骤 15.2.2.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2 - 2 \sqrt{2})$

解题步骤 15.2.3

通过相乘进行化简。

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解题步骤 15.2.3.1

运用分配律。

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} \cdot 2 + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2})$

解题步骤 15.2.3.2

将 $2$ 移到 $e^{\sqrt{2}}$ 的左侧。

$f (- \sqrt{2}) = 2 e^{\sqrt{2}} + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2})$

解题步骤 15.2.4

最终答案为 $2 e^{\sqrt{2}} + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2})$ 。

$y = 2 e^{\sqrt{2}} + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2})$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = e^{- x} (x^{2} + 2 x)$ 的局部极值。

$(\sqrt{2}, 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 e^{- \sqrt{2}} \sqrt{2})$ 是一个局部最大值

$(- \sqrt{2}, 2 e^{\sqrt{2}} + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2}))$ 是一个局部最小值

解题步骤 17

微积分学 示例

微积分学示例