微积分学示例

$f (x) = - x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{- 3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $- x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{- 3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{3} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 2 x + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 2 x + \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

解题步骤 1.3.3

组合 $3$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$- 2 x + \frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

解题步骤 1.3.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- 2 x + \frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

解题步骤 1.3.5

组合 $\frac{6}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$- 2 x + \frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

解题步骤 1.3.6

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.6.1

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 2 x + \frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

解题步骤 1.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.6.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 2 x + \frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

解题步骤 1.3.6.2.2

约去公因数。

$- 2 x + \frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

解题步骤 1.3.6.2.3

重写表达式。

$- 2 x + \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

解题步骤 1.3.6.2.4

用 $2 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} x^{- 3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ 。

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{1}{2} (- 3 x^{- 4})$

解题步骤 1.4.3

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{- 3}{2} x^{- 4}$

解题步骤 1.4.4

组合 $\frac{- 3}{2}$ 和 $x^{- 4}$ 。

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{- 3 x^{- 4}}{2}$

解题步骤 1.4.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 4}$ 移动到分母。

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{- 3}{2 x^{4}}$

解题步骤 1.4.6

将负号移到分数的前面。

$- 2 x + 2 x^{2} - \frac{3}{2 x^{4}}$

解题步骤 1.5

重新排序项。

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x - \frac{3}{2 x^{4}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x^{2} - 2 x - \frac{3}{2 x^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

解题步骤 2.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$4 x - 2 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- \frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3}{2 x^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ 。

$4 x - 2 - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 2.4.2

将 $\frac{1}{x^{4}}$ 重写为 ${(x^{4})}^{- 1}$ 。

$4 x - 2 - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

解题步骤 2.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{4}$ 。

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解题步骤 2.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4}$ 。

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 2.4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 2.4.3.3

使用 $x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 2.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

解题步骤 2.4.5

将 ${(x^{4})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.4.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

解题步骤 2.4.5.2

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

解题步骤 2.4.6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

解题步骤 2.4.7

通过指数相加将 $x^{- 8}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.4.7.1

移动 $x^{3}$ 。

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

解题步骤 2.4.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

解题步骤 2.4.7.3

从 $3$ 中减去 $8$ 。

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- 4 x^{- 5})$

解题步骤 2.4.8

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$4 x - 2 + 4 (\frac{3}{2}) x^{- 5}$

解题步骤 2.4.9

组合 $4$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$4 x - 2 + \frac{4 \cdot 3}{2} x^{- 5}$

解题步骤 2.4.10

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$4 x - 2 + \frac{12}{2} x^{- 5}$

解题步骤 2.4.11

组合 $\frac{12}{2}$ 和 $x^{- 5}$ 。

$4 x - 2 + \frac{12 x^{- 5}}{2}$

解题步骤 2.4.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 5}$ 移动到分母。

$4 x - 2 + \frac{12}{2 x^{5}}$

解题步骤 2.4.13

约去 $12$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.13.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 x - 2 + \frac{2 \cdot 6}{2 x^{5}}$

解题步骤 2.4.13.2

约去公因数。

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解题步骤 2.4.13.2.1

从 $2 x^{5}$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 x - 2 + \frac{2 \cdot 6}{2 (x^{5})}$

解题步骤 2.4.13.2.2

约去公因数。

$4 x - 2 + \frac{2 \cdot 6}{2 x^{5}}$

解题步骤 2.4.13.2.3

重写表达式。

$4 x - 2 + \frac{6}{x^{5}}$

解题步骤 2.5

重新排序项。

$f'' (x) = 4 x + \frac{6}{x^{5}} - 2$

解题步骤 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $4 x + \frac{6}{x^{5}} - 2$ 。

$4 x + \frac{6}{x^{5}} - 2$

微积分学 示例

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