微积分学示例

$- x^{2} - 12 x + 3 y^{2} - 24 y = 0$

解题步骤 1

求双曲线的标准形式。

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解题步骤 1.1

对 $- x^{2} - 12 x$ 进行配方。

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解题步骤 1.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 1$

$b = - 12$

$c = 0$

解题步骤 1.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 12}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 1.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.2.1

约去 $- 12$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.1.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 1.1.3.2.1.2

移动 $\frac{- 6}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot - 6$

解题步骤 1.1.3.2.2

将 $- 1 \cdot - 6$ 重写为 $- - 6$ 。

$d = - - 6$

解题步骤 1.1.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$d = 6$

解题步骤 1.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.2.1.1

对 $- 12$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.1.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$e = 0 - \frac{144}{- 4}$

解题步骤 1.1.4.2.1.3

用 $144$ 除以 $- 4$ 。

$e = 0 - - 36$

解题步骤 1.1.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 36$ 。

$e = 0 + 36$

解题步骤 1.1.4.2.2

将 $0$ 和 $36$ 相加。

$e = 36$

解题步骤 1.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- {(x + 6)}^{2} + 36$ 。

$- {(x + 6)}^{2} + 36$

解题步骤 1.2

在方程 $- x^{2} - 12 x + 3 y^{2} - 24 y = 0$ 中，用 $- {(x + 6)}^{2} + 36$ 代替 $- x^{2} - 12 x$ 。

$- {(x + 6)}^{2} + 36 + 3 y^{2} - 24 y = 0$

解题步骤 1.3

通过在等式两边同时加上 $36$ 的方法来将 $36$ 移到等式右边。

$- {(x + 6)}^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 0 - 36$

解题步骤 1.4

对 $3 y^{2} - 24 y$ 进行配方。

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解题步骤 1.4.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 3$

$b = - 24$

$c = 0$

解题步骤 1.4.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.4.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.4.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.4.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.3.2.1

约去 $- 24$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.2.1.1

从 $- 24$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.4.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 3$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (3)}$

解题步骤 1.4.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.4.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 12}{3}$

解题步骤 1.4.3.2.2

约去 $- 12$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.2.2.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $3$ 。

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3}$

解题步骤 1.4.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.3.2.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)}$

解题步骤 1.4.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 4}{1}$

解题步骤 1.4.3.2.2.2.4

用 $- 4$ 除以 $1$ 。

$d = - 4$

解题步骤 1.4.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.4.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 3}$

解题步骤 1.4.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.4.2.1.1

对 $- 24$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 3}$

解题步骤 1.4.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$e = 0 - \frac{576}{12}$

解题步骤 1.4.4.2.1.3

用 $576$ 除以 $12$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 48$

解题步骤 1.4.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $48$ 。

$e = 0 - 48$

解题步骤 1.4.4.2.2

从 $0$ 中减去 $48$ 。

$e = - 48$

解题步骤 1.4.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $3 {(y - 4)}^{2} - 48$ 。

$3 {(y - 4)}^{2} - 48$

解题步骤 1.5

在方程 $- x^{2} - 12 x + 3 y^{2} - 24 y = 0$ 中，用 $3 {(y - 4)}^{2} - 48$ 代替 $3 y^{2} - 24 y$ 。

$- {(x + 6)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} - 48 = 0 - 36$

解题步骤 1.6

通过在等式两边同时加上 $48$ 的方法来将 $- 48$ 移到等式右边。

$- {(x + 6)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} = 0 - 36 + 48$

解题步骤 1.7

化简 $0 - 36 + 48$ 。

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解题步骤 1.7.1

从 $0$ 中减去 $36$ 。

$- {(x + 6)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} = - 36 + 48$

解题步骤 1.7.2

将 $- 36$ 和 $48$ 相加。

$- {(x + 6)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} = 12$

解题步骤 1.8

将每一项除以 $12$ 以使方程右边等于一。

$- \frac{{(x + 6)}^{2}}{12} + \frac{3 {(y - 4)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

解题步骤 1.9

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{4} - \frac{{(x + 6)}^{2}}{12} = 1$

解题步骤 2

这是双曲线的形式。使用此形式可确定用于求双曲线顶点和渐近线的值。

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该双曲线中的值匹配至标准形式的值。变量 $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量， $a$ 。

$a = 2$

$b = 2 \sqrt{3}$

$k = 4$

$h = - 6$

解题步骤 4

双曲线的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(- 6, 4)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从双曲线中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

化简表达式。

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解题步骤 5.3.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2

对 $2 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.3.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}$

解题步骤 5.3.2.5

计算指数。

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3}$

解题步骤 5.3.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\sqrt{4 + 12}$

解题步骤 5.3.3.2

将 $4$ 和 $12$ 相加。

$\sqrt{16}$

解题步骤 5.3.3.3

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\sqrt{4^{2}}$

解题步骤 5.3.3.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$4$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

双曲线的第一个顶点可通过 $k$ 加上 $a$ 求得。

$(h, k + a)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 6, 6)$

解题步骤 6.3

双曲线的第二个顶点可通过从 $k$ 中减去 $a$ 求得。

$(h, k - a)$

解题步骤 6.4

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 6, 2)$

解题步骤 6.5

双曲线的顶点符合 $(h, k \pm a)$ 的形式。双曲线有两个顶点。

$(- 6, 6), (- 6, 2)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $k$ 求得。

$(h, k + c)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 6, 8)$

解题步骤 7.3

双曲线的第二个焦点可通过从 $k$ 中减去 $c$ 求得。

$(h, k - c)$

解题步骤 7.4

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 6, 0)$

解题步骤 7.5

双曲线的焦点遵循 $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ 的形式。双曲线有两个焦点。

$(- 6, 8), (- 6, 0)$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

化简分子。

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解题步骤 8.3.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

解题步骤 8.3.1.2

对 $2 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

解题步骤 8.3.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

解题步骤 8.3.1.4

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 8.3.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

解题步骤 8.3.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

解题步骤 8.3.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

解题步骤 8.3.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.4.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

解题步骤 8.3.1.4.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}}{2}$

解题步骤 8.3.1.4.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2}$

解题步骤 8.3.1.5

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{4 + 12}}{2}$

解题步骤 8.3.1.6

将 $4$ 和 $12$ 相加。

$\frac{\sqrt{16}}{2}$

解题步骤 8.3.1.7

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

解题步骤 8.3.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{4}{2}$

解题步骤 8.3.2

用 $4$ 除以 $2$ 。

$2$

解题步骤 9

求焦点参数。

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解题步骤 9.1

通过使用下面的公式求双曲线焦点参数的值。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

解题步骤 9.2

将 $b$ 和 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 的值代入公式。

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.1.1

从 $2 {\sqrt{3}}^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{2})}{4}$

解题步骤 9.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2}$

解题步骤 9.3.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 9.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

解题步骤 9.3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

解题步骤 9.3.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

解题步骤 9.3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.4.1

约去公因数。

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

解题步骤 9.3.2.4.2

重写表达式。

$\frac{3^{1}}{2}$

解题步骤 9.3.2.5

计算指数。

$\frac{3}{2}$

解题步骤 10

因为双曲线为上下开口，所以渐近线满足 $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ 形式。

$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 6)) + 4$

解题步骤 11

化简求第一条渐近线。

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解题步骤 11.1

去掉圆括号。

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 6)) + 4$

解题步骤 11.2

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x + 6) + 4$

解题步骤 11.2.2

运用分配律。

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 6 + 4$

解题步骤 11.2.3

组合 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 6 + 4$

解题步骤 11.2.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (3 (2)) + 4$

解题步骤 11.2.4.2

约去公因数。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (3 \cdot 2) + 4$

解题步骤 11.2.4.3

重写表达式。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + 4$

解题步骤 11.2.5

将 $2$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + 2 \sqrt{3} + 4$

解题步骤 12

化简求第二条渐近线。

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解题步骤 12.1

去掉圆括号。

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 6)) + 4$

解题步骤 12.2

化简每一项。

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解题步骤 12.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x + 6) + 4$

解题步骤 12.2.2

运用分配律。

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 6 + 4$

解题步骤 12.2.3

组合 $x$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 6 + 4$

解题步骤 12.2.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.4.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{- \sqrt{3}}{3} \cdot 6 + 4$

解题步骤 12.2.4.2

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{- \sqrt{3}}{3} \cdot (3 (2)) + 4$

解题步骤 12.2.4.3

约去公因数。

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{- \sqrt{3}}{3} \cdot (3 \cdot 2) + 4$

解题步骤 12.2.4.4

重写表达式。

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \sqrt{3} \cdot 2 + 4$

解题步骤 12.2.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - 2 \sqrt{3} + 4$

解题步骤 13

该双曲线有两条渐近线。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + 2 \sqrt{3} + 4, y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - 2 \sqrt{3} + 4$

解题步骤 14

这些值代表的是绘制和分析双曲线时的重要数值。

中心点： $(- 6, 4)$

顶点： $(- 6, 6), (- 6, 2)$

焦点： $(- 6, 8), (- 6, 0)$

离心率： $2$

焦点参数： $\frac{3}{2}$

渐近线： $y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + 2 \sqrt{3} + 4$ ， $y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - 2 \sqrt{3} + 4$

解题步骤 15

微积分学 示例

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