微积分学示例

${(x - 1)}^{2} (x - 2) (x - 4)$

解题步骤 1

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$\frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 1) (x - 2) (x - 4)]$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(x (x - 1) - 1 (x - 1)) (x - 2) (x - 4)]$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (x - 2) (x - 4)]$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 2) (x - 4)]$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 2) (x - 4)]$

解题步骤 3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 2) (x - 4)]$

解题步骤 3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 2) (x - 4)]$

解题步骤 3.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (x - 2) (x - 4)]$

解题步骤 3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - x - x + 1) (x - 2) (x - 4)]$

解题步骤 3.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) (x - 4)]$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)$ 且 $g (x) = x - 4$ 。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 4] + (x - 4) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)]$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)]$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)]$

解题步骤 5.3

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)]$

解题步骤 5.4

化简表达式。

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解题步骤 5.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)]$

解题步骤 5.4.2

将 $x^{2} - 2 x + 1$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)]$

解题步骤 6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) ((x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

解题步骤 7

求微分。

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解题步骤 7.1

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) ((x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

解题步骤 7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) ((x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

解题步骤 7.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) ((x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

解题步骤 7.4

化简表达式。

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解题步骤 7.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) ((x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

解题步骤 7.4.2

将 $x^{2} - 2 x + 1$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

解题步骤 7.5

根据加法法则， $x^{2} - 2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 7.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 7.7

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 7.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 7.9

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 7.10

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2 + 0))$

解题步骤 7.11

将 $2 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

从 $(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$ 中分解出因数 $1$ 。

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解题步骤 8.1.1

从 $(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

解题步骤 8.1.2

从 $(x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)) + 1 ((x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2)))$

解题步骤 8.1.3

从 $1 ((x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)) + 1 ((x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2)))$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2)))$

解题步骤 8.2

将 $(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

解题步骤 8.3

重新排序项。

$(x - 2) (x^{2} - 2 x + 1) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

解题步骤 8.4

化简每一项。

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解题步骤 8.4.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x - 2) (x^{2} - 2 x + 1)$ 。

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

解题步骤 8.4.2

化简每一项。

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解题步骤 8.4.2.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 8.4.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 8.4.2.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{1} x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

解题步骤 8.4.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{1 + 2} + x (- 2 x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

解题步骤 8.4.2.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x^{3} + x (- 2 x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

解题步骤 8.4.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$x^{3} - 2 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

解题步骤 8.4.2.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 8.4.2.3.1

移动 $x$ 。

$x^{3} - 2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

解题步骤 8.4.2.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{3} - 2 x^{2} + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

解题步骤 8.4.2.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} - 2 x^{2} + x - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

解题步骤 8.4.2.5

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$x^{3} - 2 x^{2} + x - 2 x^{2} + 4 x - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

解题步骤 8.4.2.6

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} - 2 x^{2} + x - 2 x^{2} + 4 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

解题步骤 8.4.3

从 $- 2 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 4 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

解题步骤 8.4.4

将 $x$ 和 $4 x$ 相加。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

解题步骤 8.4.5

化简每一项。

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解题步骤 8.4.5.1

使用 FOIL 方法展开 $(x - 2) (2 x - 2)$ 。

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解题步骤 8.4.5.1.1

运用分配律。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + x (2 x - 2) - 2 (2 x - 2))$

解题步骤 8.4.5.1.2

运用分配律。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + x (2 x) + x \cdot - 2 - 2 (2 x - 2))$

解题步骤 8.4.5.1.3

运用分配律。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + x (2 x) + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)$

解题步骤 8.4.5.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 8.4.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.4.5.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + 2 x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)$

解题步骤 8.4.5.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 8.4.5.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + 2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)$

解题步骤 8.4.5.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)$

解题步骤 8.4.5.2.1.3

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)$

解题步骤 8.4.5.2.1.4

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2 x - 4 x - 2 \cdot - 2)$

解题步骤 8.4.5.2.1.5

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2 x - 4 x + 4)$

解题步骤 8.4.5.2.2

从 $- 2 x$ 中减去 $4 x$ 。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 6 x + 4)$

解题步骤 8.4.6

将 $x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (3 x^{2} - 2 x + 1 - 6 x + 4)$

解题步骤 8.4.7

从 $- 2 x$ 中减去 $6 x$ 。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (3 x^{2} - 8 x + 1 + 4)$

解题步骤 8.4.8

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (3 x^{2} - 8 x + 5)$

解题步骤 8.4.9

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x - 4) (3 x^{2} - 8 x + 5)$ 。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + x (3 x^{2}) + x (- 8 x) + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

解题步骤 8.4.10

化简每一项。

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解题步骤 8.4.10.1

使用乘法的交换性质重写。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x \cdot x^{2} + x (- 8 x) + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

解题步骤 8.4.10.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 8.4.10.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 (x^{2} x) + x (- 8 x) + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

解题步骤 8.4.10.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 8.4.10.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 (x^{2} x^{1}) + x (- 8 x) + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

解题步骤 8.4.10.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{2 + 1} + x (- 8 x) + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

解题步骤 8.4.10.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} + x (- 8 x) + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

解题步骤 8.4.10.3

使用乘法的交换性质重写。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 8 x \cdot x + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

解题步骤 8.4.10.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 8.4.10.4.1

移动 $x$ 。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 8 (x \cdot x) + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

解题步骤 8.4.10.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 8 x^{2} + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

解题步骤 8.4.10.5

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 8 x^{2} + 5 \cdot x - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

解题步骤 8.4.10.6

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 8 x^{2} + 5 x - 12 x^{2} - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

解题步骤 8.4.10.7

将 $- 8$ 乘以 $- 4$ 。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 8 x^{2} + 5 x - 12 x^{2} + 32 x - 4 \cdot 5$

解题步骤 8.4.10.8

将 $- 4$ 乘以 $5$ 。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 8 x^{2} + 5 x - 12 x^{2} + 32 x - 20$

解题步骤 8.4.11

从 $- 8 x^{2}$ 中减去 $12 x^{2}$ 。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 20 x^{2} + 5 x + 32 x - 20$

解题步骤 8.4.12

将 $5 x$ 和 $32 x$ 相加。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 20 x^{2} + 37 x - 20$

解题步骤 8.5

将 $x^{3}$ 和 $3 x^{3}$ 相加。

$4 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 - 20 x^{2} + 37 x - 20$

解题步骤 8.6

从 $- 4 x^{2}$ 中减去 $20 x^{2}$ 。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 5 x - 2 + 37 x - 20$

解题步骤 8.7

将 $5 x$ 和 $37 x$ 相加。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 42 x - 2 - 20$

解题步骤 8.8

从 $- 2$ 中减去 $20$ 。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 42 x - 22$

微积分学 示例

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