微积分学示例

$\sqrt[3]{x^{2}} (2 x - x^{2})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} (2 x - x^{2})]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = 2 x - x^{2}$ 。

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}] + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $2 x - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{\frac{2}{3}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{\frac{2}{3}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x^{\frac{2}{3}} (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x^{\frac{2}{3}} (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{\frac{2}{3}} (2 - (2 x)) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 3.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

解题步骤 7.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

解题步骤 9

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{2}{3}} (- 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.2

运用分配律。

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{2}{3}} (- 2 x) + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.3

合并项。

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解题步骤 11.3.1

将 $2$ 移到 $x^{\frac{2}{3}}$ 的左侧。

$2 \cdot x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{2}{3}} (- 2 x) + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.3.2

通过指数相加将 $x^{\frac{2}{3}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 11.3.2.1

移动 $x$ 。

$2 x^{\frac{2}{3}} + x \cdot x^{\frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.3.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 11.3.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x^{\frac{2}{3}} + x^{1} x^{\frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.3.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{\frac{2}{3}} + x^{1 + \frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.3.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.3.2.4

在公分母上合并分子。

$2 x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3 + 2}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.3.2.5

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$2 x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{5}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.3.3

将 $- 2$ 移到 $x^{\frac{5}{3}}$ 的左侧。

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot x^{\frac{5}{3}} + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.3.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 。

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + x \frac{2 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.3.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + x \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.3.6

组合 $x$ 和 $\frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 。

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{x \cdot 4}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.3.7

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 \cdot x}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.3.8

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{3}}$ 移动到分子。

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x \cdot x^{- \frac{1}{3}}}{3} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.3.9

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 11.3.9.1

移动 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 (x^{- \frac{1}{3}} x)}{3} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.3.9.2

将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 11.3.9.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 (x^{- \frac{1}{3}} x^{1})}{3} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.3.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{3} + 1}}{3} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.3.9.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}}}{3} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.3.9.4

在公分母上合并分子。

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{- 1 + 3}{3}}}{3} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.3.9.5

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.3.10

组合 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 和 $x^{2}$ 。

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{2}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.3.11

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{3}}$ 移动到分子。

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{2} x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.12

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 11.3.12.1

移动 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x^{2})}{3}$

解题步骤 11.3.12.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + 2}}{3}$

解题步骤 11.3.12.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.12.4

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.12.5

在公分母上合并分子。

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 3}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.12.6

化简分子。

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解题步骤 11.3.12.6.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{- 1 + 6}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.12.6.2

将 $- 1$ 和 $6$ 相加。

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.13

要将 $2 x^{\frac{2}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- 2 x^{\frac{5}{3}} + 2 x^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.14

组合 $2 x^{\frac{2}{3}}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.15

在公分母上合并分子。

$- 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 + 4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.16

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{6 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.17

将 $6 x^{\frac{2}{3}}$ 和 $4 x^{\frac{2}{3}}$ 相加。

$- 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.18

要将 $- 2 x^{\frac{5}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- 2 x^{\frac{5}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.19

组合 $- 2 x^{\frac{5}{3}}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{- 2 x^{\frac{5}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.20

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 x^{\frac{5}{3}} \cdot 3 - 2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.21

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 6 x^{\frac{5}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.22

从 $- 6 x^{\frac{5}{3}}$ 中减去 $2 x^{\frac{5}{3}}$ 。

$\frac{- 8 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 11.3.23

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 11.4

重新排序项。

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

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