微积分学示例

$y = \frac{1 - \cos (4 x)}{\sin (4 x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 - \cos (4 x)$ 且 $g (x) = \sin (4 x)$ 。

$\frac{\sin (4 x) \frac{d}{d x} [1 - \cos (4 x)] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $1 - \cos (4 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (4 x)]$ 。

$\frac{\sin (4 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (4 x)]) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\sin (4 x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (4 x)]) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \cos (4 x)]$ 相加。

$\frac{\sin (4 x) \frac{d}{d x} [- \cos (4 x)] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (4 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$ 。

$\frac{\sin (4 x) (- \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 x$ 。

$\frac{\sin (4 x) (- (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x])) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 3.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$\frac{\sin (4 x) (- (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x])) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 3.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{\sin (4 x) (- (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 4

乘。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sin (4 x) (1 (\sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 4.2

将 $\sin (4 x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (4 x) (\sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 5

对 $\sin (4 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{1} (4 x) \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 6

对 $\sin (4 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sin^{1} (4 x) \sin^{1} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\sin (4 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 8

求微分。

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解题步骤 8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sin^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 8.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\sin^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 8.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\sin^{2} (4 x) (4 \cdot 1) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 8.4

化简表达式。

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解题步骤 8.4.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin^{2} (4 x) \cdot 4 - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 8.4.2

将 $4$ 移到 $\sin^{2} (4 x)$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot \sin^{2} (4 x) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 9

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 9.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $4 x$ 。

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - (1 - \cos (4 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 9.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - (1 - \cos (4 x)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 9.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - (1 - \cos (4 x)) (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 10

求微分。

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解题步骤 10.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - (1 - \cos (4 x)) \cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 10.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 (1 - \cos (4 x)) \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 10.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 (1 - \cos (4 x)) \cos (4 x) \cdot 1}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 10.4

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 (1 - \cos (4 x)) \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) + (- 4 \cdot 1 - 4 (- \cos (4 x))) \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 11.2

运用分配律。

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cdot 1 \cos (4 x) - 4 (- \cos (4 x)) \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 11.3

化简分子。

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解题步骤 11.3.1

化简每一项。

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解题步骤 11.3.1.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) - 4 (- \cos (4 x)) \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 11.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) + 4 \cos (4 x) \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 11.3.1.3

乘以 $4 \cos (4 x) \cos (4 x)$ 。

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解题步骤 11.3.1.3.1

对 $\cos (4 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) + 4 (\cos^{1} (4 x) \cos (4 x))}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 11.3.1.3.2

对 $\cos (4 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) + 4 (\cos^{1} (4 x) \cos^{1} (4 x))}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 11.3.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) + 4 {\cos (4 x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 11.3.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) + 4 \cos^{2} (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 11.3.2

移动 $4 \cos^{2} (4 x)$ 。

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) + 4 \cos^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 11.3.3

从 $4 \sin^{2} (4 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (\sin^{2} (4 x)) + 4 \cos^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 11.3.4

从 $4 \cos^{2} (4 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (\sin^{2} (4 x)) + 4 (\cos^{2} (4 x)) - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 11.3.5

从 $4 (\sin^{2} (4 x)) + 4 (\cos^{2} (4 x))$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (\sin^{2} (4 x) + \cos^{2} (4 x)) - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 11.3.6

使用勾股恒等式。

$\frac{4 \cdot 1 - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 11.3.7

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 11.4

从 $4 - 4 \cos (4 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 11.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (1) - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 11.4.2

从 $- 4 \cos (4 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (1) + 4 (- \cos (4 x))}{\sin^{2} (4 x)}$

解题步骤 11.4.3

从 $4 (1) + 4 (- \cos (4 x))$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (1 - \cos (4 x))}{\sin^{2} (4 x)}$

微积分学 示例

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